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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 49

Repita o Problema 7-48, mas não assuma que o tanque é grande. Em vez disso, considere o diâmetro do tanque D t a n q u e e a profundidade média do líquido h t a n q u e como parâmetros adicionais relevantes.

Passo 1

Bora lá então!

O que a gente tem que fazer aqui é dar uma olhadinha na resolução da questão 48 e refazer ela, mas dessa vez vamos adicionar mais dois parâmetros relevantes, D t a n q u e e h t a n q u e !

A lista de parâmetros relevantes da questão 48 é:

W ˙ = f ( ω , ρ ,   μ ,   D )

Neste caso n = 5 e eles podem ser descritos pelas dimensões de massa, comprimento e tempo, então o primeiro palpite para j é 3 , quando se aplica o Teorema de Pi de Buckingham a gente tem:

k = n - j = 5 - 3 = 2

E de fato na resolução achavamos dois grupos π , mas vamos ver o que vai mudar quando a gente adicionar D t a n q u e e h t a n q u e na lista de parâmetros relevantes!

A nova lista de parâmetros relevantes ficará:

W ˙ = f ( ω , ρ ,   μ ,   D ,   D t a n q u e ,   h t a n q u e )

Como os dois novos parâmetros tem dimensão de comprimento então isso não da pra a gente nenhuma dimensão nova, aqui n = 7 e j = 3 , aplicando o Teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 7 - 3 = 4

Agora a gente espera 4   grupos π e podemos usar os mesmos parâmetros repetidos da questão anterior:

ω ,   ρ   e   D

Dessa forma os dois primeiros grupos π serão os mesmos!!!

π 1 = W ˙ ρ D 5 ω 3

π 2 = μ ρ D 2 ω

Passo 2

Agora a gente tem que achar π 3 e π 4 , mas lembra que lá atrás a gente viu que a dimensão tanto de D t a n q u e quanto h t a n q u e é de comprimento?!

Isso significa que quando formos fazer as continhas o expoente de variáveis que tem dimensões diferentes de comprimento vão ser igual a zero! Olhando a nossa listinha, a única variável com dimensão de apenas comprimento é D . Então devemos esperar que os novos grupos adimensionais sejam:

π 3 = D t a n q u e D

π 4 = h t a n q u e D

Mas vamos fazer as continhas só por desencargo de consiência, beleza?!

Passo 3

Vamos achar π 3 então, nele quem aparece é D t a n q u e além dos parâmetros repetidos, claro:

Falando nisso, vamos relembrar as dimensões básicas dos parâmetros repetidos:

ω = t - 1 ; ρ = m 1 L - 3 ; D = { L }

O π 3 vai ser:

π 3 = 1 = { D t a n q u e × ω a 3 × ρ b 3 × D c 3 }

Substituindo as dimensões primárias:

π 3 = m 0 L 0 t 0 = { L 1 × { t - 1 } a 3 × { m 1 L - 3 } b 3 × { L 1 } c 3 }

Agora vamos equacionar esses expoentes, começando pela massa:

m 0 = m b 3

b 3 = 0

Agora L :

L 0 = L 1 × L - 3 a 3 × L c 3

0 = 1 - 3 a 3 + c 3

Por fim t :

t 0 = t - a 3

a 3 = 0

Logo:

0 = 1 - 3 a 3 + c

c 3 = - 1  

Substituindo em π 3 temos:

π 3 = 1 = { D t a n q u e × D - 1 }

Arrumando:

π 3 = D t a n q u e D

Como h t a n q u e tem exatamente a mesma dimensão que D t a n q u e , então π 4 tem que ser:

π 4 = h t a n q u e D

Exatamente como falamos lá no Passo 2!!!

Passo 4

Agora vamos escrever a relação entre os grupos π :

W ˙ ρ D 5 ω 3 = f μ ρ D 2 ω , D t a n q u e D , h t a n q u e D

Olhando na tabela de grupos π conhecidos, vemos que π 1   é o número de Power, representado por N p e π 2 é o número de Reynolds, R e ! Então ficamos com:

N p = f R e , D t a n q u e D , h t a n q u e D

Uhuuul!! Acabamos =DD

Resposta

N p = f R e , D t a n q u e D , h t a n q u e D

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