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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 52

Repita o Problema 9-51, criando a sua própria função corrente. Você pode criar qualquer função ψ ( x ,   y ) que desejar, desde que ela contenha pelo menos três termos e não seja a mesma de um exemplo ou problema deste livro. Discuta.

Passo 1

E aí, galera, como estão? Espero que os estudos estejam rendendo! Vamos resolver uma questão de função corrente ψ ?

O enunciado quer saber duas informações diferentes. Primeiro, ele quer que a gente encontre as expressões das componentes da velocidade u (componente da velocidade no eixo x ) e v (componente da velocidade no eixo y ) de um escoamento através da expressão da função corrente ψ .

Depois ele quer que a gente substitua as expressões de u e v que encontramos na equação da continuidade de um escoamento bidimensional e incompressível (equação 9-19 do livro). Essa expressão se encontra abaixo.

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Se a soma das derivadas de u e v for igual a zero, isso quer dzer que o escoamento respeita a lei de conservação de massa. Uma outra forma de dizer que as velocidades respeitam a onservação de massa é falar que u e v satisfazem a equação da continuidade incompressível.

Passo 2

Atenção! A questão não nos informou uma expressão para a função corrente ψ x , y . O enunciado disse que era para a gente criar nossa própria função corrente, obedecendo duas restrições: essa nova ψ x , y tem que ter no mínimo 3 termos e não pode ser igual à funções correntes ψ x , y presentes em problemas anteriores do livro.

Nessa resolução vamos escolher a expressão abaixo. No entanto, vale ressaltar que qualquer função suave de x e y satisfaz a lei de conservação de massa (equação da contituindade) e pode ser usada!

ψ x , y = a x + b y + c x y

Passo 3

Para calcular a componente horizontal u da velocidade e a componente vertical v da velocidade a partir da função corrente ψ , usamos as equações 9-20 do livro que servem para escoamentos incompressíveis como o nosso caso.

u = ∂ ψ ∂ y

v = - ∂ ψ ∂ x

Substituindo as expressões de ψ nessas fórmulas, encontramos expressões para u e v .

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       u = ∂ ∂ y a x + b y + c x y       ⟹       u = b + c x

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       v = - ∂ ∂ x a x + b y + c x y       ⟹       v = - a - c y

Passo 4

Substituindo as expressões de u e v , verificamos se essas duas componentes satisfazem a equação da continuidade incompressível. Ou seja, fazendo essa substituição, conseguimos descobrir se a expressão da função corrente corresponde de fato a um escoamento que respeita a lei de conservação de massa.

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = ∂ ∂ x b + c x + ∂ v ∂ y - a - c y

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = c - c

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vemos pela equação acima que a soma das derivadas é nula e, por isso, o campo de escoamento satisfaz a equação da continuidade incompressível!

Resposta

a   u = b + c x

                      v = - a - c y

b O campo de escoamento satisfaz a equação da continuidade incompressível.

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