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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 49

Um campo de escoamento permanente, bidimensional, incompressível no plano x y tem a seguinte função corrente: ψ = a x 2 + b x y + c y 2 , onde a , b , e c são constantes. (a) Obtenha expressões para as componentes da velocidade u e v . (b) Verifique se o campo de escoamento satisfaz a equação da continuidade incompressível.

Passo 1

E aí, galera, como estão? Espero que os estudos estejam rendendo! Vamos resolver uma questão de função corrente ψ ?

O enunciado quer saber duas informações diferentes. Primeiro, ele quer que a gente encontre as expressões das componentes da velocidade u (componente da velocidade no eixo x ) e v (componente da velocidade no eixo y ) de um escoamento através da expressão da função corrente ψ .

Depois ele quer que a gente substitua as expressões de u e v que encontramos na equação da continuidade de um escoamento bidimensional e incompressível (equação 9-19 do livro). Essa expressão se encontra abaixo.

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Se a soma das derivadas de u e v for igual a zero, isso quer dzer que o escoamento respeita a lei de conservação de massa. Uma outra forma de dizer que as velocidades respeitam a onservação de massa é falar que u e v satisfazem a equação da continuidade incompressível.

Passo 2

Para calcular a componente horizontal u da velocidade e a componente vertical v da velocidade a partir da função corrente ψ , usamos as equações 9-20 do livro que servem para escoamentos incompressíveis como o nosso caso.

u = ∂ ψ ∂ y

v = - ∂ ψ ∂ x

Substituindo as expressões de ψ nessas fórmulas, encontramos expressões para u e v .

u = ∂ ψ ∂ y       ⟹       u = ∂ ∂ y a x 2 + b x y + c y 2       ⟹       u = b x + 2 c y

v = - ∂ ψ ∂ x       ⟹       v = - ∂ ∂ x a x 2 + b x y + c y 2       ⟹       v = - 2 a x - b y

Passo 3

Substituindo as expressões de u e v , verificamos se essas duas componentes satisfazem a equação da continuidade incompressível. Ou seja, fazendo essa substituição, conseguimos descobrir se a expressão da função corrente corresponde de fato a um escoamento que respeita a lei de conservação de massa.

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = ∂ ∂ x b x + 2 c y + ∂ v ∂ y - 2 a x - b y

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = b - b

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Vemos pela equação acima que a soma das derivadas é nula e, por isso, o campo de escoamento satisfaz a equação da continuidade incompressível!

Resposta

a   u = b x + 2 c y

                          v = - 2 a x - 2 b y

b O campo de escoamento satisfaz a equação da continuidade incompressível.

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