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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 88

A resistência de um aquecedor elétrico de 3 kW é um fio de aço inoxidável de 6 m de comprimento e 0,2 cm de diâmetro ( k = 15,1   W / m ⋅ K ) . A resistência opera no ambiente a 20 °C com coeficiente de transferência de calor de 175   W / m 2 ⋅ K na superfície externa. Determine a temperatura na superfície do fio (a) usando a relação aplicável e (b) desenvolvendo e resolvendo a equação diferencial adequada.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor e condutividade térmica constante.

Como estamos falando de uma barra cilíndrica sob regime permanente, condução unidimensional, geração de calor, condutividade térmica constante e convecção na superfície externa, podemos descrever a temperatura na superfície externa através da seguinte equação:

T s = T ∞ + e ˙ g e r 2 h r 0

Antes de substituirmos os valores, precisamos determinar quem é e ˙ g e r . Este termo de geração é dado por:

e ˙ g e r = E ˙ g e r V = 3000 π ⋅ 0,001 2 ⋅ 6 = 1,5915 ⋅ 10 8 W / m 3

Portanto,

T s = 20 + 1,5915 ⋅ 10 8 2 ⋅ 175 ⋅ 0,001

T s = 474,7   ° C

Passo 2

Agora, precisamos resolver a EDO associada ao nosso problema. Como estamos trabalhando com um fio de formato cilíndrico, vamos utilizar o sistema de coordenadas cilíndrica. Portanto, a EDO que rege o nosso problema é:

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, os quais são dois. O primeiro é a simetria do fio. Esta simetria implica em dizer que a temperatura máxima do fio está localizada no meio dele. Consequentemente, não há condução de calor em r = 0 . Portanto:

- k d T d r r = 0 = 0

Já a outra é condução de calor na outra superfície igual a convecção do fluido. Portanto, temos:

- k d T d r r = r 0 = h T s - T ∞

Passo 3

Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na placa nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:

1 r d d r r d T d r = - e ˙ g e r k

r d T d r = - e ˙ g e r 2 k r 2 + C 1

Vamos utilizar a nossa primeira condição de contorno, a simetria do problema. Com isto, temos:

d T d r r = 0 = 0

Logo,

r d T d r = 0 = 0 - e ˙ g e r 2 k 0 2 + C 1

C 1 = 0

Agora que descobrimos o valor da primeira constante, vamos continuar a resolver a nossa EDO. Portanto:

r d T d r = - e ˙ g e r 2 k r 2

d T d r = - e ˙ g e r 2 k r

T r = - e ˙ g e r 4 k r 2 + C 2

Precisamos utilizar a nossa segunda condição de contorno. Portanto, temos:

- k d T d r r = r 0 = h T s - T ∞

- k - e ˙ g e r 2 k r 0 = h T s - T ∞

T s = T ∞ + e ˙ g e r 2 h r 0

Pronto, percebam que nem é necessário continuarmos o desenvolvimento pois, a partir deste ponto, já determinamos a expressão para a temperatura na superfície. Logo,

T s = T ∞ + e ˙ g e r 2 h r 0 = 474,7   ° C

Resposta

  1. T s = 474,7   ° C

T s = 474,7   ° C

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