Enunciado

Um revestimento superficial especial, sobre um painel quadrado com 5 m por 5 m de lado, é curado pela colocação do painel diretamente sob uma fonte de calor radiante que tem as mesmas dimensões. A fonte de calor é difusa e cinza, e opera com uma alimentação de potência de 75 kW. A superfície superior do aquecedor, bem como a superfície inferior do

painel, podem ser consideradas termicamente isoladas. O sistema encontra-se no interior de uma grande sala com ar e paredes a uma temperatura de 25°C. O revestimento superficial é difuso e cinza, com uma emissividade de 0,30 e um limite superior de temperatura de 400 K.

Desprezando os efeitos da convecção, qual é o espaçamento mínimo que pode ser mantido entre o aquecedor e o painel para assegurar que a temperatura do painel não ultrapasse 400 K? Levando em consideração os efeitos da convecção na superfície revestida do painel, qual deve ser o espaçamento mínimo?

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, o problema nos pediu para achar duas coisas, não foi? A primeira é qual é o espaçamento mínimo que pode ser mantido entre o aquecedor e o painel para assegurar que a temperatura do painel não ultrapasse 400 K !!

Lembrando que neste caso não existe convecção:

q 1 = E b 1 - J 1 1 - ε 1 ε 1 A 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

O que nós sabemos é:

q 1 = 75000   W

A 1 = 5   m × 5   m = 25   m 2

Para as radiosidades temos:

E b 2 = J 2 = σ T 2 4

E b 3 = J 3 = σ T 3 4

Lembrando que:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

T 2 ≤ 4 00   K

T 3   =   298   K

Substituindo:

J 2 = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 4 00   K 4 = 1452 W m 2

J 3 = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4 298   K 4 = 447 W m 2

Substituindo:

75000 = J 1 - 1452 1 ( 25 ) F 12 + J 1 - 447 1 ( 25 ) F 13

3000 = J 1 - 1452 F 12 + J 1 - 447 F 13

Bom, o fator de forma é que está relacionado ao distanciamento entre as placas, então precisamos acha-lo !!

Passo 2

Vamos começar achando o fator de forma F 13 em função do que queremos!

Pelo somatório para a superfície 1:

F 12 + F 13 = 1

F 13 = 1 - F 12

Por simetria:

F 23 = 1 - F 12

Substituindo:

3000 = J 1 - 1452 F 12 + J 1 - 447 1 - F 12

Abrindo a equação:

J 1 = 1004,4 F 12 + 3447

Só precisamos da emissividade então, não é?

Usando o calor que é transmitido através dos painéis 1 e 2:

J 1 - J 2 1 A 1 F 12 = J 2 - J 3 1 A 2 F 23

F 12 J 1 - J 2 = F 23 J 2 - J 3

Substituindo:

F 12 J 1 - 1451,52 = 1 - F 12 1451,52 - 447,1

447 F 12 + 1004,4 F 12 = J 1

Substituindo na equação anterior:

447 F 12 + 1004,4 F 12 = 1004,4 F 12 + 3447

1004,4 F 12 2 + 3000,1 F 12 - 1004,4 = 0

Resolvendo:

F 12 = 0,3

Olhando na figura abaixo, quando X L = Y L e F 12 = 0,3 :

Assim nós obtemos:

X L ≅ 1,45

Se X = 5   m :

L = 5   m 1,45 = 3,45   m

E assim nós achamos o espaçamento !!

Passo 3

A próxima pergunta da questão é o espaçamento mínimo, mas agora levando em consideração os efeitos da convecção na superfície revestida do painel!

Já sabemos que:

q 1 = J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + J 1 - J 3 1 A 1 F 13

Isso não vai mudar, mas teremos uma nova radiosidade para a superfície 2. Agora quando fazemos o balanço energético para o painel 2:

h - A 2 T 2 - T ∞ = J 2 - E b , 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

h - T 2 - T ∞ = J 2 - E b , 2 1 - ε 2 ε 2

Só precisamos do coeficiente convectivo, certo?

Antes de qualquer coisa precisamos calcular R a L :

R a L = g β T d - T v i z L c 2 a v

Neste caso:

L c = A P = 25   m 2 20   m 2

Para achar as propriedades do ar nós precisamos da temperatura média:

T m = T 1 + T 2 2 = 400   K + 298   K 2 = 350   K

Assumindo que a temperatura seja próxima a 323     K e olhando na Tabela A – 4:

v = 20,92 × 10 - 6 m 2 s

k = 0 , 0 3 W m K

a = 29,9 × 10 - 6 m 2 s

P r = 0,7

β = 1 350   K

Substituindo:

R a L = 9,81 1 350 400 - 298 25 20 2 20,92 × 10 - 6 29,9 × 10 - 6 = 8,9 × 10 9

E para o coeficiente:

h - = k L c 0 , 1 5 R a L 1 3

Substituindo:

h - = 0 , 0 3 25 20 0 , 1 5 8,9 × 10 9 1 4  

h - = 7,4 6 W m 2 K

Agora vamos substituir, não é?

( 7,46 ) 400 - 298 = J 2 - 1452 1 - 0,3 0,3

J 2 = 3228 W m 2

Passo 4

Agora que achamos o que precisávamos vamos colocar na equação do Passo 1:

3000 = J 1 - 3228 F 12 + J 1 - 447 1 - F 12

J 1 = 3447 + 2781 F 12

Ainda precisamos de J 1 , e para achar vamos fazer o balanço de energia para o painel 1:

J 1 - J 2 1 A 1 F 12 + E b , 3 - J 2 1 A 2 F 23 = J 2 - E b , 2 1 - ε 2 ε 2 A 2 = h - A 2 T 2 - T ∞

J 1 - 3228 F 12 + 447,1 - 3228 1 - F 12 = 7,46 . 400 - 298

J 1 = 3543 + 447 F 12 F 12

Substituindo:

3543 + 447 F 12 F 12 = 3447 + 2781 F 12

2781 F 12 2 + 3000 F 12 - 3542 = 0

Resolvendo a equação:

F 12 = 0,71

Agora, quando olhamos no gráfico acima:

X L = 5,7

L = 5 m 5,7 = 0,88   m

E é isso aí galerinhaa !!

Resposta

L = 3,45   m

L = 0,88   m

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