Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 6
A solução das equações diferenciais completas para o movimento de ondas sem tensão superficial mostra que a velocidade da onda é dada por:
Em que é o comprimento de onda e é a profundidade do líquido. Mostre que quando , a velocidade da onda torna-se proporcional a . No limite, como . Determine o valor de para o qual . (Note que o correto é usar a tangente hiperbólica, e não a tangente normal como está na versão em português).
Passo 1
Tá legal, na primeira condição, quando temos:
E, dessa forma:
Então, a equação para se torna:
E, chamando de , temos:
Então, é proporcional a .
Passo 2
Agora, se tivermos:
Então, teremos:
E, dessa forma, a tangente hiperbólica se torna:
Substituindo a expressão na equação para , temos:
Passo 3
Agora, queremos encontrar quando , então, igualando essa expressão para e aquela fornecida no enunciado, temos:
Elevando os dois lados ao quadrado, temos:
Não conseguimos resolver essa equação sem a ajuda de uma calculadora ou um software específico, então, com a ajuda de uma calculadora, temos: