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Enunciado

Sistemas de Controle - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 74

Um tanque aberto está cheio com água na profundidade indicada. A pressão atmosférica atua sobre todas as superfícies externas do tanque. Determine o módulo e a linha de ação da componente vertical da força da água sobre a parte curva do fundo do tanque.

Passo 1

Nessa questão temos um tanque conforme mostrado pela imagem, onde a pressão atmosférica atua em todas as superfícies. Devemos calcular o módulo e a linha de ação da componente vertical da força. Agora vamos ver com quais expressões podemos calcular isso:

d p d h = γ , pressão hidrostática onde h é positivo para baixo.

F v = - ∫ p d A y , força hidrostática vertical

x ' F V = ∫ x d F V

Como todo problema da MecFLu, fazemos algumas considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atuando na superfície da agua e fora da parede.

Passo 2

Vamos começar integrando a equação da pressão hidrostática. A altura pode ser definida como h = L - ( R 2 - x 2 ) . A área também pode ser expressa por: d A y = b   d x .

Assim, podemos aplicar na equação:

F v = - ∫ p d A y

F v = - ∫ γ L - R 2 - x 2 b   d x =   - γ b ∫ 0 R L - R 2 - x 2 d x

= - γ b R L - R × π 4

Substituindo os valores temos:

F V = - 9810 N m 3 × 3   m × 1,2   m 3 m - 1,2   m × π 4

F V = - 72,6   k N

Passo 3

Para encontrarmos a linha de ação:

x ' F V = ∫ x d F V

Onde: d F V = - γ b ( L - R 2 - x 2   d x , então:

x ' = x ' F V F v = 1 γ b R L - R × π 4 × ∫ 0 R x   γ b   L - R 2 - x 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

= 1 R L - R π 4 ∫ 0 R L x - x R 2 - x 2 d x

x ' = 4 R 4 L - π R L R 2 2 - R 3 3 = 4 R 2 R 4 L - π R L 2 - R 3

Simplificando e usando os dados, temos:

= 4 R 4 L - π R L 2 - R 3

x ' = 4 × 1,2   m 4 × 3 - π × 1,2   m 3 2 - 1,2 3

x ' = 0,6415   m

Prontinho!!

Resposta

F V = - 72,6   k N

x ' ≅ 0,64   m

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