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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 62

62 - A temperatura superficial máxima no eixo, com 20   m m de diâmetro, de um motor que opera no ar ambiente a 27   ℃ , não deve exceder 87 ℃ . Devido à dissipação de potência no interior da carcaça do motor, deseja-se dissipar a maior quantidade de calor possível através do eixo para o ar ambiente. Neste problema, iremos investigar vários métodos para a remoção do calor.

(a) Para cilindros horizontais com movimento de rotação, uma correlação apropriada para estimar o coeficiente convectivo tem a forma na qual R e D ≡   Ω D 2 / v   e   Ω é a velocidade de rotação ( r a d / s ) . Determine o coeficiente convectivo e a máxima taxa de transferência de calor por unidade de comprimento em função da velocidade de rotação no intervalo

entre 5000   e   15.000   r p m .

(b) Estime o coeficiente convectivo de convecção natural e a taxa máxima de transferência de calor por unidade de comprimento para o eixo parado. Os efeitos combinados de convecção natural e convecção forçada podem se tornar significativos quando R e D <   4,7   G r D 3   / P r 0,137 . Os efeitos da convecção natural são importantes na faixa de velocidades de rotação especificada na parte (a)?

(c) Considerando a emissividade do eixo igual a 0,8 e a vizinhança na mesma temperatura do ar ambiente, a transferência de calor por radiação é importante?

(d) Se o ar ambiente escoar em escoamento cruzado em relação ao eixo, quais velocidades do ar serão requeridas para remover as taxas de transferência de calor determinadas na parte (a)?

Passo 1

Precisamos calcular a temperatura do filme antes de começar.

T f = T s + T ∞ 2

= 360 + 300 2

= 330   K

Para o ar atmosférico:

Obtenha as propriedades do ar atmosférico na tabela A.4 (Propriedades termo físicas dos gases à pressão atmosférica) à temperatura de 330   K , entretanto precisaremos realizar uma interpolação entre as temperaturas de 300   K e 350   K :

O valor da viscosidade cinemática é:

v = 18,91 × 10 - 6   m / s

O valor do número Prandtl é:

P r = 0,7028

.

O valor da condutividade térmica é:

k = 0,02852   W / m ⋅ K

O valor da difusividade térmica é:

α = 26,94 × 10 - 6   m 2 / s

Passo 2

Calcule o coeficiente de expansão térmica.

β = 1 T f

= 1 330

3,03 × 10 - 3   K - 1

Passo 3

Agora vamos calcular a velocidade de rotação comigo.

Ω = 2 π N 60

Aqui,  N é o número de rotações por minuto.

= 2 π × 5000 60

= 523,5   s

Passo 4

Conforme foi fornecido no enunciado, temos que para calcular o número de Reynolds do tubo usaremos a seguinte equação.

R e D = Ω D 2 v

Aqui,  D é o diâmetro e  v é a viscosidade.

= 523,5 × 20 × 10 - 3 2 18,91 × 10 - 6

= 0,2094 18,91 × 10 - 6

= 11076

Agora, podemos calcular o número de Nusselt para o tubo com a seguinte relação.

N u D = 0,133 R e D 2 / 3 P r 1 3

= 0,133 × 11076 2 3 × 0,7028 1 3

= 58,75

Passo 5

Vamos agora, calcular o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície interna do tubo.

h = k D N u D

Aqui,  k é a condutividade térmica da água,  N u D é o número de Nusselt e  D é o diâmetro interno do tubo.

h = 0,02825 20 × 10 - 3 × 58,75

= 1,426 × 58,75

h = 83,8   W / m 2 ⋅ K

Passo 6

Temos que a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento pode ser encontrada, usando a seguinte equação.

q = h A ( T s - T ∞ )

= h π D ( T s - T ∞ )

Aqui, h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção, T ∞  é a temperatura ambiente, D é o diâmetro e  T s é a temperatura da superfície do cilindro.

= 83,8 × ( π × 20 × 10 - 3 ) ( 360 - 300 )

= 316   W / m

Portanto, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é  316   W / m .

Passo 7

b) Calcule o número de Rayleigh.

R a L = g β T s - T ∞ D 3 v α

Aqui,  β é o coeficiente de expansão,  ( T s - T ∞ ) é a diferença de temperatura, D é o diâmetro, v é a viscosidade cinemática e  α é o coeficiente de difusividade térmica.

= 9,81 × ( 3,03 × 10 - 3   ) 360 - 300 20 × 10 - 3 3 ( 18,91 × 10 - 6 ) ( 26,94 × 10 - 6   )

= 1,41 × 10 - 5 509,4 × 10 - 12

= 27981

Passo 8

Calcule o número médio de Nusselt.

N u D = 0,60 + 0,387 R a D 1 6 1 + 0,559 P r 9 16 8 27 2

= 0,60 + 0,387 27981 1 6 1 + 0,559 0,7028 9 16 8 27 2

= 0,6 + 2,13 0,556 2

= 5,61

Passo 9

Vamos calcular o coeficiente médio de transferência de calor por convecção por meio da seguinte relação.

N u D = h D k

h = N u D k D

Aqui, L é o comprimento do cilindro e k é a condutividade térmica do nitrogênio.

= 5,61 × 0,02852 20 × 10 - 3

= 5,61 + 1,426

h = 8   W / m ⋅ K

Passo 10

Agora, podemos calcular a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, já que temos todas as variáveis.

= h π D ( T s - T ∞ )

= 8 × π × 20 × 10 - 3 × ( 360 - 300 )

= 8 × 0,062 × 60

= 30,2   W / m

Portanto, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é  30,2   W / m .

Passo 11

Os efeitos combinados de convecção natural e convecção forçada podem se tornar significativos quando R e D <   4,7   G r D 3   / P r 0,137 .

Temos que G r D = R a D / P r

11,076 < ? < 4,7 27,981 0,7028 3 0,7018 0,137 = 383

Logo concluímos que os efeitos da convecção natural na faixa de velocidades de rotação acima de 5000   r p m não são efetivas.

Passo 12

c) calcule o coeficiente de radiação por meio da equação a seguir.

h = ε A σ ( T s + T ∞ ) ( T s 2 - T ∞ 2 )  

Aqui, T s é a temperatura da superfície, ε é a emissividade,  σ é a constante de Stefan-Boltzmann e T ∞ é a temperatura ambiente.

= 0,8 × 5,67 × 10 - 8 × 360 + 300 × [ ( 360 2 + 300 2 ]

= 4,536 × 10 - 8 660 × ( 129600 + 90000 )

= 2993,76 × 10 - 8 × ( 219600 )

= 6,57   W / m 2 ⋅ K

Passo 13

Temos que a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento pode ser encontrada usando a seguinte relação.

= h π D ( T s - T ∞ )

= 6,57 × π × 20 × 10 - 3 × ( 360 - 300 )

= 6,57 × 0,062 × 60

= 24,58   W / m

Portanto, a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento é 24,58   W / m .

Resposta

  1. h = 83,8   W / m 2 ⋅ K   e q = 316   W / m .
  2. Os efeitos da convecção natural na faixa de velocidades de rotação acima de 5000   r p m não são efetivas.
  3. q = 24,58   W / m
  4. Pergunte a um especialista.
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