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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 108

Um trenó de Massa M, movido a foguete, Figura P3.108, deve ser desacelerado por uma concha de largura b normal ao papel e imersa na água à profundidade h, criando um jato de 60° para cima. O empuxo do foguete é T para a esquerda. Seja V 0 a velocidade inicial, e despreze o arrasto do ar e o atrito das rodas. Encontre uma expressão para V ( t ) do trenó quando (a) T = 0 e (b) T ≠ 0 , finito.

Passo 1

Simbora!

Temos o trenó se movendo pra esquerda em direção a x, consideremos x positivo pra esquerda. Pelo balanço de forças no sentido de x, teremos:

∑ F x = T - M d V d t = m ˙ s a i d a u s a i d a - m ˙ e n t r a d a u e n t r a d a = m ˙ ( - V cos ⁡ θ ) - m ˙ ( - V )

Lembremos que, m ˙ = ρ b h V .

Rearranjando, teremos:

M t r e n ó d V d t = T - ρ b h ( 1 - cos ⁡ θ ) V 2

Passo 2

Para (a), consideremos T = 0 , assim, resolvendo a equação diferencial por separação de variáveis:

∫ V 0 V d V V 2 = - ρ b h 1 - cos ⁡ θ M ∫ 0 t d t

V = V 0 1 + ρ b h 1 - cos ⁡ θ V 0 t M

Passo 3

Para (b), considerando T ≠ 0 , mas finito, considerando também que ele será positivo:

∫ V 0 V M d V T - ρ b h 1 - cos ⁡ θ V 2 = ∫ 0 t d t

V = T ρ b h 1 - cos ⁡ θ 1 / 2 tanh ⁡ T ρ b h 1 - cos ⁡ θ 1 2 M   t + tanh - 1 ⁡ V 0 / T ρ b h 1 - cos ⁡ θ 1 / 2

Notemos que essa solução só é possível para V 0 < T ρ b h 1 - cos ⁡ θ 1 / 2 , que é o termo referente a energia final do trenó.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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