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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 191

Água escoa em fluxos uniformes através de ranhuras de 2,5   m m do sistema rotativo mostrado. A vazão é de 3   L / s . Determine:

a) O torque requerido para manter o dispositivo estacionário;

b) A velocidade de rotação em regime permanente após a retirada do torque resistente.

Passo 1

Equação:

r × F s + ∫ V C r × g ρ d ∀ + T e i x o - ∫ V C r × 2 ω × V + ω × ω × r + ω × r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C r × V ρ d ∀ + ∫ S C r × V   ρ V d A

Considerações Iniciais:

  1. Fluxo Constante;
  2. Escoamento Uniforme;
  3. Escoamento Estacionário;
  4. Sem Movimento Angular na Letra (a).

Passo 2

Letra a)

Realizando as considerações apresentadas no Passo 1, temos:

T e i x o = ∫ S C r × V   ρ V d A

T e i x o = 2 δ ∫ r 1 r 0 r ρ V 2 d r

Integrando:

T e i x o = δ ρ V 2 ( r 0 2 - r 1 2 )

Passo 3

Calculando T e i x o :

Sendo:

δ = 2,5   m m = 2,5 x 10 - 3   m ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

Q = 3   L / s = 3 x 10 - 3   m 3 / s ;

r 0 = 300   m m = 0,3   m ;

r 1 = 300 - 250 = 50   m m = 0,05   m .

V = Q A = Q 2 δ ( r 0 - r 1 ) = 2,4   m / s .

Temos:

T e i x o = 2,5 x 10 - 3 ⋅ 1000 ⋅ 2,4 2 ⋅ 0,3 2 - 0,05 2 = 1,26   N ⋅ m

Passo 4

Letra b)

Encontrando a velocidade de rotação em regime permanente após a retirada do torque resistente.

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = ∫ S C r × V   ρ V d A

Para um VC infinitesimal de comprimento d r e seção transversal A na posição radial r , se o fluxo de entrada é Q , o fluxo de saída é Q   +   d Q e a perda através da fenda é V δ d r . Portanto, a conservação em massa leva a:

Q + d Q + V δ d r - Q = 0

d Q = - V δ d r

Q = - V δ r

Na entrada, r = r 1 . Então:

Q = Q 1 = Q 2

Assim:

Q = Q 1 + V δ r 1 - r = Q 2 + Q 2 δ ( r 0 - r 1 ) ⋅ δ r 1 - r = Q 2 r 0 - r r 0 - r 1

Desse modo, a velocidade da água ao longo de cada rotor é

V = Q A = Q 2 A r 0 - r r 0 - r 1

Passo 5

Voltando na equação inicial do Passo 4:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀ = ∫ S C r × V   ρ V d A

Vamos tratar do primeiro termo da equação:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = 4 ρ ω ∫ r 1 r 0 r V A d r = 2 ρ ω ∫ r 1 r 0 r Q r 0 - r r 0 - r 1 d r

Integrando:

- ∫ V C r × 2 ω × V ρ d ∀   = ρ Q ω ⋅ r 0 3 + r 1 2 2 r 1 - 3 r 0 3 r 0 - r 1

Para o segundo termo, temos:

∫ S C r × V   ρ V d A = 2 δ ∫ r 1 r 0 r V 2 ρ d r = ρ V 2 δ ( r 0 2 - r 1 2 )

Então, a equação inicial fica:

ρ Q ω ⋅ r 0 3 + r 1 2 2 r 1 - 3 r 0 3 r 0 - r 1 = ρ V 2 δ ( r 0 2 - r 1 2 )

ω = ρ V 2 δ r 0 2 - r 1 2 ρ Q r 0 3 + r 1 2 2 r 1 - 3 r 0 3 r 0 - r 1 = 3 r 0 - r 1 V 2 δ r 0 2 - r 1 2 Q r 0 3 + r 1 2 2 r 1 - 3 r 0

Passo 6

Sendo:

δ = 2,5   m m = 2,5 x 10 - 3   m ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

Q = 3   L / s = 3 x 10 - 3   m 3 / s ;

r 0 = 300   m m = 0,3   m ;

r 1 = 300 - 250 = 50   m m = 0,05   m .

V = Q A = Q 2 δ ( r 0 - r 1 ) = 2,4   m / s .

Temos:

ω = 3 0,3 - 0,05 ⋅ 2,4 2 ⋅ 2,5 x 10 - 3 ⋅ 0,3 2 - 0,05 2 3 x 10 - 3 ⋅ 0,3 3 + 0,05 2 2 ⋅ 0,05 - 3 ⋅ 0,3 = 12,6   r a d / s

r a d s = 9,55   r p m

ω = 120   r p m

Resposta

T e i x o = 1,26   N ⋅ m

ω = 120   r p m

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