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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 51

Três aquecedores de resistência elétrica, com comprimento L = 250   m m e diâmetro D = 25   m m , estão submersos em 10   g a l õ e s   d e   á g u a em um tanque, que está inicialmente a 295   K . Pode-se considerar a densidade e o calor específico da água como ρ = 990   k g / m 3 e c = 4180   J / ( k g · K ) .

a) Se os aquecedores forem ativados, cada um dissipando q 1 = 500   W , estime o tempo necessário para a água ser levada a uma temperatura de 335   K .

b) Sendo o coeficiente de transferência de calor por convecção natural dado por uma expressão da forma h = 370   T s - T 1 3 , sendo T s e T as temperaturas da superfície do aquecedor e da água, respectivamente, quais são as temperaturas de cada aquecedor logo após a sua ativação e antes de sua desativação? As unidades do h e de ( T s - T ) são W / ( m 2 · K ) e K , respectivamente.

c) Se os aquecedores forem inadvertidamente ativados com o tanque vazio, o coeficiente de transferência de calor por convecção natural associado à transferência de calor para o ar ambiente a T ∞ = 300   K pode ser aproximado por h = 0,70   T s   -   T ∞ 1 3 . Sendo a temperatura das paredes do tanque também igual a 300   K e a emissividade da superfície dos aquecedores ε   =   0,85 , qual é a temperatura da superfície de cada aquecedor nas condições de regime estacionário?

Passo 1

Letra a)

O calor total dissipado pelos 3 aquecedores é dado como:

3 q 1 = m c p d T d t = ρ V c p d T d t

Isolando d T d t :

d T d t = 3 q 1 ρ V c p

Separando as variáveis:

d t = ρ V c p 3 q 1 d T

∫ 0 t d t = ∫ T i T f ρ V c p 3 q 1 d T

Integrando, obtemos:

t = ρ V c p 3 q 1 ( T f - T i )

Dados:

ρ = 990   k g / m 3 ;

V = 10   g a l = 0,038   m 3 ;

c p = 4,18   k J / k g ⋅ K ;

q 1 = 500   W ;

T f = 335   K ;

T i = 295   K .

Temos:

t = 990 ⋅ 0,038 ⋅ 4,18 x 10 3 3 ⋅ 500 ⋅ 335 - 295

t = 4193   s

Passo 2

Letra b)

Calculando a temperatura de cada aquecedor logo após a sua ativação:

q 1 = h A ( T s , i - T i )

Como:

h = 370   T s , i - T i 1 3

Temos:

q 1 = 370 A T s , i - T i 4 3

q 1 = 370 π D L T s , i - T i 4 3

Dados:

D = 25   m m = 0,025   m ;

L = 250   m m = 0,25   m .

Temos:

500 = 370 ⋅ π ⋅ 0,025 ⋅ 025 ⋅ T s , i - 295 4 3

68,8 = T s , i - 295 4 3

T s , i = 295 + 24

T s , i = 319   K = 46 ° C

Passo 3

Calculando a temperatura de cada aquecedor antes de sua desativação:

q 1 = 370 π D L T s , f - T f 4 3

Substituindo os dados:

68,8 = T s , f - 335 4 3

T s , f = 335 + 24

T s , f = 359   K = 86 ° C

Passo 4

Letra c)

Calculando a temperatura da superfície de cada aquecedor nas condições de regime estacionário.

A taxa de transferência de calor de cada aquecedor dada por:

q 1 = q c o n v + q r a d

Estendendo:

q 1 = h A T s - T ∞ + ε σ A ( T s 4 - V v i z 4 )

Sendo:

h = 0,70   T s   -   T ∞ 1 3

Temos:

q 1 = A 0,70 T s   -   T ∞ 4 3 - ε σ T s 4 - V v i z 4

q 1 = π D L 0,70 T s   -   T ∞ 4 3 - ε σ T s 4 - V v i z 4

Substituindo os dados apresentados anteriormente, e sabendo que:

T ∞ = T v i z = 300   K ;

σ = 5,67 x 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 ;

ε = 0,85 .

Temos:

500 = π ⋅ 0,025 ⋅ 025 ⋅ 0,70 T s   -   300 4 3 - 0,85 ⋅ 5,67 x 10 - 8 ⋅ T s 4 - 300 4

500 = 0,0137 ⋅ T s   -   300 4 3 + 9,463 x 10 - 10 T s 4 - 7,665

507,665 = 0,0137 ⋅ T s   -   300 4 3 + 9,463 x 10 - 10 T s 4

Com auxílio de ferramentas matemáticas, temos que:

T s = 830   K = 557 ° C

Resposta

t = 4193   s

T s , i = 319   K = 46 ° C

T s , f = 359   K = 86 ° C

T s = 830   K = 557 ° C

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