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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 148

Um veículo-foguete, com velocidade inicial de 300   m / s , deve ser desacelerado pelo abaixamento de uma concha para dentro de um reservatório de água. A concha tem 0,3   m de largura e deflete a água de 150°. O reservatório tem 800   m de comprimento e a massa do veículo é 8000   k g . Na velocidade inicial, o veículo é submetido a uma força de arrasto aerodinâmico de 90   k N . A força aerodinâmica é proporcional ao quadrado da velocidade do veículo. Deseja-se diminuir a velocidade do veículo para 100   m / s . Determine a profundidade requerida D de imersão da concha na água.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Presença de força de resistência.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

F S x = - F D

Então:

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F D - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- F D - a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = - u ;

u 2 = u ⋅ c o s   θ .

Substituindo: F D = k u 2 , a x = d u d t e A = b ⋅ h :

- k u 2 - d u d t ⋅ m = u ⋅ ( ρ ⋅ u ⋅ b ⋅ h ) + ( u ⋅ cos ⁡ θ ) ⋅ ( ρ ⋅ u ⋅ b ⋅ h )

- k u 2 - d u d t ⋅ m = u 2 ⋅ ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ ( c o s   θ + 1 )  

- d u d t ⋅ m = u 2 ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ c o s   θ + 1 + k

Passo 4

Sendo:

- d u d t ⋅ m = - d u d x ⋅ m u

Fazendo:

c = ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ c o s   θ + 1 + k m

Temos:

- d u d x ⋅ u = c u 2

d u u = - c   d x

∫ u u 0 d u u = - ∫ 0 x c d x

c = - 1 x ⋅ ln ⁡ u u 0

Passo 5

Sendo:

x = 800   m ;

u = 100   m / s ;

u 0 = 300   m / s .

Temos:

c = - 1 800 ⋅ ln ⁡ 100 300 = 1,373 x 10 - 3   m - 1

Passo 6

Como:

c = ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ c o s   θ + 1 + k m

E

k = F D u 0 2

Temos:

c = ρ ⋅ b ⋅ h ⋅ c o s   θ + 1 + F D u 0 2 m

Sendo:

u 0 = 300   m / s .

c = 1,373 x 10 - 3   m - 1 ;

b = 0,3   m ;

θ = 30 ° ;

m = 8000   k g ;

F D = 90 x 10 3   N ;

ρ = 1000   k g / m 3 .

Temos:

h = m c - F D u 0 2 p b ⋅ cos ⁡ θ + 1

h = 8000 ⋅ ( 1,373 x 10 - 3 ) - 90 x 10 3 300 2 1000 ⋅ 0,3 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 1 = 0,0178   m

Resposta

h = 0,0178   m

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