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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 152

Resolva o Problema 4,141, considerando o bloco/pá deslizando sobre uma película de óleo em vez de estar em contato direto com a superfície. Admita que a resistência ao movimento seja proporcional à velocidade do bloco, F R = k u , com k = 7,5   N s / m .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência atuando.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Como:

F S x = - F R

Temos:

- F R - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F R - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A + u 3 ρ V A

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = 0 ;

u 3 = 0 .

Substituindo F R = k u :

- k u - a r x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ ⋅ v - u ⋅ A

a r x = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m

Passo 4

Sendo:

v = 20   m / s ;

m = 30   k g ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A = 0,005   m 2 ;

k = 7,5   N s / m ;

u = 10   m / s .

Temos:

a r x = 20 - 10 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,005 - 7,5 ⋅ 10 30 = 14,2   m / s 2

Passo 5

Para avaliarmos a velocidade terminal do carrinho, temos que a r x = 0 , então:

v - u t 2 ⋅ ρ A - k u t = 0

Aplicando os dados:

20 - u t 2 ⋅ 1000 ⋅ 0,005 - 7,5 ⋅ u t = 0

5 ⋅ 20 - u t 2 - 7,5 ⋅ u t = 0

u t = 15,2   m / s

Resposta

a r x = 14,2   m / s 2

u t = 15,2   m / s

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