Um bloco retangular de massa m , com faces verticais, rola sem resistência ao longo de um plano horizontal liso, conforme mostrado. O bloco viaja, inicialmente, à velocidade u 0 . Em t = 0 , ele é atingido por um jato líquido e a sua velocidade começa a diminuir. Obtenha uma expressão algébrica para a aceleração do bloco para t > 0 . Resolva a equação a fim de determinar o instante em que u = 0 .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v + u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = - ( v + u ) ;

u 2 = 0 ;

u 3 = 0 .

A expressão de aceleração se dá:

a r x = - v + u 2 ⋅ ρ A m

Substituindo a r x = d u d t :

- d u d t ⋅ m = - v + u ⋅ - ρ ⋅ v + u ⋅ A

d u d t = - v + u 2 ⋅ ρ A m

Passo 4

Rearranjando:

d u v + u 2 = - ρ A m d t

Sendo u = v + u :

d ( v + u ) v + u 2 = - ρ A m d t

∫ U 0 d ( v + u ) v + u 2 = - ∫ 0 t ρ A m d t

Integrando:

- 1 v + 1 v + u = - ρ A m ⋅ t

- v + u + v v u + v = - u v u + v = - ρ A m ⋅ t

Isolando t :

t = m u ρ A v ( v + u )

Esse é o tempo necessário para u ser igual a zero.

Resposta

a r x = - v + u 2 ⋅ ρ A m

t = m u ρ A v ( v + u )

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