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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 21

A velocidade média, u _ , para escoamento turbulento em um tubo ou em uma camada­ limite pode ser correlacionada, usando a tensão de cisalhamento na parede, τ w , a distância da parede, y , e as propriedades do fluido, ρ e μ . Use a análise dimensional para encontrar um parâmetro adimensional contendo u _ e outro contendo y , que sejam adequados para organizar dados experimentais. Mostre que o resultado pode ser escrito como

u _ u * = f y u * v

em que u * = τ w ρ é a velocidade de atrito.

Passo 1

Precisamos fazer uma demonstração… Eita!

Mas calma! A gente consegue usando o Teorema Pi de Buckingham!

Vamos começar separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

u _ τ w y ρ μ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

u _ τ y ρ μ

L t M L t 2 L M L 3 M L t

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = u _ * ρ a * y b * τ w c

L t * M L 3 a * L b * M L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a + c = 0

L : 1 - 3 a + b - c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = 1 2 b = 0 c = - 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = u _ * ρ a * y b * τ w c

Π 1 = u _ * ρ 1 2 * y 0 * τ w - 1 2

Π 1 = u _ ρ τ w

Próximooo! Porque esse a gente já resolveu!

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * y b * τ w c

M L t * M L 3 a * L b * M L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : 1 + a + c = 0

L : - 1 - 3 a + b - c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 2 b = - 1 c = - 1 2

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = μ * ρ a * y b * τ w c

Π 2 = μ * ρ - 1 2 * y - 1 * τ w - 1 2

Π 2 = μ y ρ τ w

Mas com essa carinha aqui, o ideal é que a gente racionalize...Beleza?

Π 2 = μ y ρ ρ τ w

Π 2 = μ y ρ u *

Π 2 = v y u *

Aeee… Agora sim!

Passo 6

Agora vamos expressar a função que foi pedida!

Π 1 = f Π 2

u _ ρ τ w = f v y u *

u _ u * = g y u * v

Conseguimos! Fizemos a demonstração!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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