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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 37

A vazão em volume Q através de uma placa de orifício é uma função do diâmetro D do tubo, da queda de pressão Δ p através do orifício, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido e do diâmetro d do orifício. Usando D ,   ρ   e   Δ p como variáveis repetitivas, expresse essa relação em forma adimensional.

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos?

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

Q = f ( D , Δ p ,   ρ ,   μ ,   d )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

Q = L 3 T - 1

D = L

Δ p = M L - 1 T - 2

ρ = M L - 3

d = L

μ = { M L - 1 T - 1 }

Como temos 6 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 6 – 3 = 3 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esses grupos pi e vamos seguir a dica da questão pra saber quais são as variáveis repetitivas.

Π 1 = D a ρ b Δ p c Q

Π 2 = D a ρ b Δ p c d

Π 3 = D a ρ b Δ p c μ

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = D a ρ b Δ p c Q

L a M L - 3 b M L - 1 T - 2 c L 3 T - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + c = 0

L : a - 3 b - c + 3 = - 1

T : - 2 c - 1 = 0 → c = - 1 / 2

b = 1 2

a = - 1 + 3 b + c - 3 = - 1 + 3 2 - 1 2 - 3 = - 3

Π 1 = Q ρ Δ p 1 2 D 3

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = D a ρ b Δ p c d

L a M L - 3 b M L - 1 T - 2 c L = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + c = 0

L : a - 3 b - c + 1 = 0

T : - 2 c = 0 → c = 0

b = c = 0

a = - 1

Π 2 = d D

Grupo 3:

Π 3 = D a ρ b Δ p c μ

L a M L - 3 b M L - 1 T - 2 c M L - 1 T - 1 = { M 0 L 0 T 0 }

M : b + c + 1 = 0

L : a - 3 b - c - 1 = 0

T : - 2 c - 1 = 0 → c = - 1 / 2

b = - 1 / 2

a = 3 b + c + 1 = - 3 2 + 1 2 + 1 = - 1

Π 3 = μ D ρ Δ p 1 2

Passo 4

Portanto, podemos escrever que:

Q ρ Δ p 1 2 D 3 = f d D , μ D ρ Δ p 1 2

Resposta

Q ρ Δ p 1 2 D 3 = f d D , μ D ρ Δ p 1 2

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