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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 20

A velocidade, V , de uma onda gravitacional na superfície livre para águas profundas é uma função do comprimento de onda, λ , da profundidade, D , da massa específica, ρ , e da aceleração da gravidade, g . Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V sobre as outras variáveis. Expresse V na forma mais simples possível.

Passo 1

Vamos precisar encontrar os grupos adimensionais, para isso é só a gente usar o Teorema Pi de Buckingham e arrasar nessa questão!

Começando separando nossos parâmetros, temos n = 5 :

V λ ρ g D

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

V λ ρ g D

L t L M L 3 L t 2 L

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 2

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = V * D a * ρ b * g c

L t * L a * M L 3 b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   b = 0

L : 1 + a - 3 b + c = 0

t : - 1 - 2 c = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 2 b = 0 c = - 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = V * D a * ρ b * g c

Π 1 = V * D - 1 2 * ρ 0 * g - 1 2

Π 1 = V D g

Arrasamos! Próxima etapa...

Passo 5

Agora é só fazer a mesma coisa para a segunda equação:

Π 2 = λ * D a * ρ b * g c

L * L a * M L 3 b * L t 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Observando com atenção nossos expoentes:

M : b = 0

L : 1 + a - 3 b + c = 0

t : - 2 c = 0

A solução desse sistema nos dá os expoentes a , b e c :

a = - 1 b = 0 c = 0

Então nós ficaremos com a segunda equação:

Π 2 = λ * D a * ρ b * g c

Π 2 = λ * D - 1 * ρ 0 * g 0

Π 2 = λ D

Show!

Passo 6

Agora vamos expressar uma equação para a velocidade! Partiu!

Π 1 = f Π 2

V D g = f λ D

V = D g f λ D

Resposta

V = D g f λ D

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