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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 23

Ondas capilares são formadas na superfície livre de um líquido como resultado da tensão superficial. Elas têm comprimentos de onda curtos. A velocidade de uma onda capilar depende da tensão superficial, σ , do comprimento de onda, λ , e da massa específica do líquido, ρ . Use a análise dimensional para expressar a velocidade da onda como uma função dessas variáveis.

Passo 1

Vamos resolver essa tranquilinho, partiu?

Começando usando o Teorema Pi de Buckingham!

Vamos começar separando nossos parâmetros, temos n = 4 :

V σ λ ρ

Passo 2

Agora vamos identificar o número mínimo de dimensões que podemos escrever os parâmetros que já separamos: Massa M , comprimento L e tempo t .

Vamos colocar as unidades correspondentes de cada parâmetro:

V σ λ ρ

L t M t 2 L M L 3

Nosso número de dimensões independentes é r = 3 .

Passo 3

O nosso número mínimo de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 1

Uhull! Já podemos montar as equações:

Π 1 = V * σ a * λ b * ρ c

L t * M t 2 a * L b * M L 3 c = M 0 * L 0 * t 0

Vamos analisar os expoentes:

M :   a + c = 0

L : 1 + b - 3 c = 0

t : - 1 - 2 a = 0

Resolvendo esse sisteminha:

a = - 1 2 b = 1 2 c = 1 2

Passo 4

Nossa equação vai ficar desse jeitinho:

Π 1 = V * σ a * λ b * ρ c

Π 1 = V * σ - 1 2 * λ 1 2 * ρ 1 2

Π 1 = V λ ρ σ

Show! Arrasamos!

Passo 5

Agora vamos expressar a velocidade:

Π 1 = V λ ρ σ = Constante

V λ ρ σ = C

V = C * σ λ ρ

Que arraso! A gente achou a equação da velocidade!

Resposta

V = C * σ λ ρ

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