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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 25

A força de propulsão F de uma hélice geralmente é considerada uma função de seu diâmetro D e da velocidade angular Ω , da velocidade V de avanço, da massa específica ρ e da viscosidade μ do fluido. Reescreva essa relação como uma função adimensional.

Passo 1

Vamos começar escrevendo como os parâmetros são funções um dos outros, beleza?

F = f ( D ,   Ω ,   V ,   ρ , μ   )

Vamos então primeiro descobrir quantos grupos adimensionais precisaremos encontrar. Temos 6 variáveis e 3 dimensões bases (MLT), ou seja, temos que encontrar 6 – 3 = 3 grupos pi.

Agora, bora escrever as dimensões desses paranauês todos aí!

F = M L T - 2

D = L

Ω = T - 1

V = L T - 1

ρ = M L - 3

μ = { M L - 1 T - 1 }

Passo 2

Bem, agora escolhemos como vamos construir nossos grupos pi!! Eu vou escolher ρ V μ como variáveis repetitivas!!

Π 1 = ρ a V b μ c F = M 0 L 0 T 0

Π 2 = ρ a V b μ c D = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a V b μ c Ω = M 0 L 0 T 0

Passo 3

Vamos encontrar então esses expoentes de cada um dos grupos!!!!

Π 1 = ρ a V b μ c F = M 0 L 0 T 0

Π 1 = { M L - 3 } a L T - 1 b { M L - 1 T - 1 } c { M L T - 2 } = M 0 L 0 T 0

M : a + c + 1 = 0 → a = - 1 - c

L : - 3 a + b - c + 1 = 0

T : - b - c - 2 = 0 → c = - b - 2

Vamos substituir c e a na segunda equação!!!

- 3 a + b - c + 1 = 0 → - 3 - 1 - c + b - - b - 2 + 1 = 0

3 + c + b + b + 2 + 1 = 0

3 - b - 2 + 2 b + 2 + 1 = 0

3 + b + 1 = 0

b = - 4

c = 4 - 2 = 2

a = - 3

Π 1 = μ 2 F V 4 ρ 3

Para o segundo grupo e terceiro temos:

Π 2 = ρ a V b μ c D = M 0 L 0 T 0

Π 2 = { M L - 3 } a L T - 1 b { M L - 1 T - 1 } c { L } = M 0 L 0 T 0

M : a + c = 0 → a = - c

L : - 3 a + b - c + 1 = 0

T : - b - c = 0 → b = - c

Substituindo c e b na equação de L, temos:

- 3 a + b - c + 1 = 0

- 3 - c - c - c + 1 = 0

3 c - 2 c + 1 = 0

c = - 1

a = 1

b = 1

Π 2 = ρ V D μ

Para o grupo 3

Π 3 = ρ a V b μ c Ω = M 0 L 0 T 0

Π 3 = { M L - 3 } a L T - 1 b { M L - 1 T - 1 } c { T - 1 } = M 0 L 0 T 0

M : a + c = 0 → a = - c

L : - 3 a + b - c = 0

T : - b - c - 1 = 0 → b = - c - 1

Substituindo b e a na equação de L, temos:

- 3 a + b - c = 0

- 3 - c - c - 1 - c = 0

3 c - 2 c = 1

c = 1

a = - 1

b = - 2

Π 3 = μ Ω ρ V 2

Logo, temos que:

μ 2 F V 4 ρ 3 = f ρ V D μ , μ Ω ρ V 2

Resposta

μ 2 F V 4 ρ 3 = f ρ V D μ , μ Ω ρ V 2

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