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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 30

A tensão de cisalhamento na parede τ p para escoamento em um espaço anular estreito entre um cilindro fixo e outro rotativo é uma função da massa específica ρ , da viscosidade μ , da velocidade angular Ω , do raio externo R e da largura do espaçamento Δ r . Usando ( ρ ,   Ω ,   R ) como variáveis repetitivas, reescreva essa relação em forma adimensional.

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos comigo?! Vai dar bom!!!

Quais são as unidades bases dos parâmetros dados pelo enunciado?

τ p = M L - 1 T - 2

ρ = M L - 3

μ = { M L - 1 T - 1 }

Ω = T - 1

R = { L }

Δ r = L

Como temos 6 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases (MLT), tem-se que o número de grupos pi iguais a 6 – 3 = 3 grupos!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esses grupos pi e vamos seguir a dica da questão pra saber quais são as variáveis repetitivas.

Π 1 = ρ a Ω b R c τ p = M L 3 a 1 T b L c M L T 2 = M 0 L 0 T 0

Π 2 = ρ a Ω b R c μ - 1 = M L 3 a 1 T b L c M L T = M 0 L 0 T 0

Π 3 = ρ a Ω b R c Δ r = M L 3 a 1 T b L c L = M 0 L 0 T 0

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = ρ a Ω b R c τ p = M L 3 a 1 T b L c M L T 2 = M 0 L 0 T 0

M : a + 1 = 0 → a = - 1

L : - 3 a + c - 1 = 0

T : - b - 2 = 0 → b = - 2

Substituindo “a” e “b” na equação de L, obtemos o valore de c!!

- 3 - 1 + c - 1 = 0 → 2 + c = 0 → c = - 2

Π 1 = τ p ρ Ω 2 R 2

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = ρ a Ω b R c μ - 1 = M L 3 a 1 T b L c M L T - 1 = M 0 L 0 T 0

M : a - 1 = 0 → a = 1

L : - 3 a + c + 1 = 0

T : - b + 1 = 0 → b = 1

Substituindo na equação de L, temos:

- 3 1 + c + 1 = 0 → c - 2 = 0 → c = 2

Π 2 = ρ Ω R 2 μ

Grupo 3:

Π 2 = ρ a Ω b R c Δ r = M L 3 a 1 T b L c { L } = M 0 L 0 T 0

M : a = 0 → a = 0

L : - 3 a + c + 1 = 0

T : - b = 0 → b = 0

Substituindo “a” e “b” equação de L, temos:

- 3 0 + c + 1 = 0 → c + 1 = 0 → c = - 1

Π 2 = Δ r R

Passo 4

Agora, podemos escrever a relação adimensional entre eles, tal que:

Π 1 = f Π 2 ,   Π 3

τ p ρ Ω 2 R 2 = f ρ Ω R 2 μ , Δ r R

Resposta

τ p ρ Ω 2 R 2 = f ρ Ω R 2 μ , Δ r R

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