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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 06

Em estudos atmosféricos, o movimento da atmosfera terrestre pode algumas vezes ser modelado com a equação

D V _ D t + 2 Ω _   × V _ = - 1 ρ ∇ p

em que V _ é a velocidade de grande escala da atmosfera através da superfície terrestre, ∇ p é o gradiente de pressão climática, e Ω _ é a velocidade angular da terra. Qual é o significado do termo Ω _   × V _ ? Use a diferença de pressão, Δ P , e a escala de comprimento típico, L (que poderia ser, por exemplo, o módulo de, ou a diferença entre camadas atmosféricas alta e baixa, respectivamente) para tornar esta equação adimensional. Obtenha os grupos adimensionais que caracterizam este escoamento.

Passo 1

Vamos começar modificando um pouco a cara da equação, é apenas uma mudança na visualização...

É para ajudar a gente, relaxa!

D V _ D t = ∂ V _ ∂ t + V _ ⋅ ∇ V _

∂ V _ ∂ t + V _ ⋅ ∇ V _ + 2 Ω _   × V _ = - 1 ρ ∇ p

Agora que a equação está explícita, podemos adimensionalizar!

Passo 2

Vamos começar colocando tudo que for adimensional com um * pra gente não se perder, belezinha?

V _ * = V _ V p * = p Δ p x * = x L Ω _ * = Ω _ Ω t * = t V L

Agora vamos substituir as equações do passo 2 na equação que arrumamos no passo 1:

∂ V _ * V ∂ t * L / V + V _ * V ⋅ ∇ V _ * V + 2 Ω _ * Ω   × V _ * V = - 1 ρ Δ p L ∇ p *

Retirando as constantes da derivada e organizando a equação:

V L / V ∂ V _ * ∂ t * + V V L V _ * ⋅ ∇ V _ * + 2 Ω _ * Ω   × V _ * V = - 1 ρ Δ p L ∇ p *

V 2 L ∂ V _ * ∂ t * + V _ * V 2 L ⋅ ∇ V _ * + 2 Ω _ * V Ω   × V _ * = - 1 ρ Δ p L ∇ p *

∂ V _ * ∂ t * + V _ * ⋅ ∇ V _ * + 2 Ω _ * Ω L V   × V _ * = - Δ p ρ V 2 ∇ p *

Passo 3

Os grupos adimensionais que caracterizam a equação são:

Ω L V e Δ p ρ V 2

Arrasamos!

Resposta

Ω L V e Δ p ρ V 2

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