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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 24

Verifique se o escoamento em espiral de linha de vórtices/sumidouros no plano r θ do Prob. 9–17 satisfaz a equação de continuidade incompressível bidimensional. O que acontece com a conservação de massa na origem? Discuta.

Passo 1

Por aqui a gente não paaara !!

O problema 9.17 nos disse que:

u r = C 2 π r

u θ = Ӷ 2 π r

Se precisamos comprovar a equação da continuidade, primeiro temos que lembrar dela, não é?

1 r ∂ r u r ∂ r + 1 r ∂ u θ ∂ θ = 0

Vamos substituir:

1 r ∂ ∂ r r × C 2 π r + 1 r ∂ ∂ θ Ӷ 2 π r = 0

1 r ∂ ∂ r C 2 π + 1 r ∂ ∂ θ Ӷ 2 π r = 0

No primeiro termo precisamos derivar a constante C 2 π com relação a r , e derivada de constante dá zerooo!!

∂ ∂ r C 2 π = 0

Mesma coisa no segundo termo, derivamos Ӷ 2 π r com relação ao ângulo θ :

∂ ∂ θ Ӷ 2 π r = 0

Substituindo:

1 r 0 + 1 r 0 = 0

0 = 0

Portanto, a equação da continuidade é mais que satisfeita, concordam?

Passo 2

Ainda precisamos dizer o que acontece com a conservação de massa na origem, não é?

Na origem temos o r tendendo ao zero:

lim r → 0 ⁡ u r = lim r → ∞ ⁡ C 2 π r = ∞

lim r → 0 ⁡ u θ = lim r → 0 ⁡ Ӷ 2 π r = ∞

Na conservação de massa temos que u r = 0 na origem, aqui u r ≠ 0 , certo?

Portanto, este fato viola a conservação da massa!!

E o que isso significa afinal?

Que na origem a massa não será conservada !!

E chegamos ao fim de mais uma !!

Resposta

C o m o   v i s t o   a c i m a   ‼

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