Equações do Movimento em Notação Vetorial

Para a velocidade, podemos usar a formulinha da velocidade!

Essa aqui ó:

Show! Temos a velocidade inicial e a aceleração, então:

Agora somando as componentes no mesmo eixo coordenado, temos:

Prontinho!

Como temos uma aceleração constante, podemos usar essa formulinha aqui ó:

Né não? Mas pra descobrirmos o vetor velocidade, como temos componentes no eixo x e no eixo y, podemos dividir essa equação pra cada eixo, né? Ou seja:

Então vamo lá! Primeiro passo é encontrar nossa aceleração nos dois eixos coordenados x e y. Como essa aceleração faz um ângulo de com o eixo x, temos que:

Show! Primeira parte já foi.

Agora que temos nossas acelerações em cada um dos eixos coordenados, quando jogamos seus valores nas equações com , temos:

Aproximando as valores como a questão nos pede, temos:

Conseguimos! Acabamos! :D

O problema quer a velocidade e a posição da partícula em um determinado tempo. Para isso vamos usar as equações do movimento.

Vamos encontrar a velocidade em , para isso vamos usar a fórmula da velocidade

Agora vamos encontrar a posição da partícula no momento , faremos isso utilizando da equação da posição.

Quando escrevemos algo em notação vetorial a orientação já está clara no vetor, então nos resta encontrar a magnitude desse vetor. Bom, isso é o mesmo que achar o tamanho do vetor, ou seja, o problema quer o módulo, então faremos isso.

Usando o sistema de eixos definido no enunciado do problema como z na vertical, o vetor aceleração é , sendo a gravidade. A expressão do vetor velocidade em função de um instante t qualquer obtém-se a partir da equação das velocidades, né? Aquela lá:

Então vamo lá! Substituindo nossos dados, temos:

Juntando cada coordenada, temos:

A altura máxima será atingida no instante em que a velocidade seja nula na vertical, ou seja, no nosso caso, quando a componente  da velocidade for nula. Show, né? Então devemos igualar a componente em z a 0.

Como queremos a altura máxima, temos que substiruir esse tempo na equação da posição na direção z:

Substituindo os dados:

Agora pra gente encontrar a posição onde a bala bate no chão, sabemos que a equação do espaço é dada por:

Para calcular o instante em que a bala bate no chão, ou seja, o instante onde a altura Z é igual a 0, calcula-se o tempo t em que a componente z da posição é igual a zero, né? :p Então vamo lá:

Usando Bháskara nessa equaçãozinha do segundo grau, temos que:

E pra gente descobrir a posição da bala nesse instante é só substituirmos esse valor de t na equação do espaço! Vamo nessa:

O problema quer a velocidade e posição da partícula quando ela atinge o máximo valor de sua coordenada . Bom, aqui entra uma parte teórica importante, vamos observar os dados que temos sobre o movimento no eixo

A partícula só se moverá para frente (sentido positivo do eixo ) se a velocidade for positiva. No momento que a velocidade for negativa a partícula começará a voltar no eixo movendo-se para trás. Como a aceleração é negativa sabemos que ela irá diminuir o valor da velocidade.

Assim, teremos o máximo valor na coordenada quando a velocidade for zero,. Vamos calcular isso então, analisando apenas o eixo .

Como estamos estudando apenas o movimento no eixo podemos trabalhar como se fosse um movimento unidimensional e por isso

Onde a velocidade final é zero , a velocidade inicial é e a aceleração é .

Agora vamos analisar o movimento no eixo , pois já sabemos o instante em que a partícula atinge o máximo valor da coordenada , como queremos saber a velocidade em neste instante, basta sunstituir na equação da velocidade.

Onde e aceleração é

Agora que já descobrimos a velocidade em cada eixo, vamos escrever o vetor velocidade

Como já descobrimos o instante de tempo em que a partícula atinge o máximo valor da coordenada do eixo . Basta substituirmos esse na equação da posição que acharemos o vetor posição.

Basta lembrar da fórmula que diz que . Mas como a velocidade inicial da partícula é nula e ela está inclinada aos eixos e , teremos que decompor ela assim:

Nessa teremos que lembrar da fórmula , a partícula não tem aceleração. Então vamos decompor nos eixos e assim:

Novamente vamos utilizar a fórmula , só que na partícula não tem velocidade inicial e a posição inicial é zero. Então vamos decompor assim:

Para que aconteça a colisão para o mesmo instante de tempo, assim obtemos:

Igualando em :

Igualando em :

E, portanto:

Vamos utilizar nossa já conhecida fórmula:

Para o eixo :

Para o eixo :

Logo temos que:

Quando :

Por bhaskara encontramos o valor de :

Como o tempo não pode ser negativo, vamos ignorar o resultado negativo e considerar só o positivo:

Agora é só substituir esse instante de tempo na equação da posição.

Precisamos utilizar a fórmula da velocidade:

Em descobrimos no item anterior que , então:

Já temos a velocidade vetorial, para achar a escalar é só tirar o módulo. Lembra da fórmula do módulo de um vetor?

Basta encontramos o ângulo que o vetor velocidade faz com o eixo . Para isso é só imaginar um triângulo retângulo em que o cateto oposto é a componente e o cateto adjacente é a componente .