Vetor Velocidade e Aceleração Instantânea

Como queremos a velocidade a aceleração instantânea no momento de 2 segundos, a gente precisa lembrar que a derivada do espaço em função do tempo é a velocidade, e que a velocidade derivada em função do tempo é a aceleração! Então vamos lá:

No tempo de 2 segundos é só substituir o 2 no lugar do tempo na equação, ou seja:

Show!

Agora vamos calcular a aceleração, derivando a equação da velocidade dessa vez:

Fechamos!

Lembrando que o vetor velocidade nada mais é do que a derivada do vetor posição, portanto:

E por sua vez, a aceleração é a derivada da velocidade, então:

Já possuímos as equações do vetor velocidade e aceleração, mas ambos estão em função do tempo. Então para utilizá-los precisamos do instante de tempo do ponto e do ponto . Para descobrir o tempo, basta substituir as coordenadas do ponto na equação da posição.

Igualando as componentes de e :

Ou

Logo, o ponto corresponde ao instante .

Fazemos o mesmo para o ponto .

Igualando as componentes de e :

Ou

Logo o ponto B corresponde ao instante .

Agora substituindo, temos que a velocidade instantânea no ponto é:

E agora o vetor aceleração instantânea no ponto

Bem, nós calcularemos a velocidade média com a fórmula:

E a aceleração média com a fórmula:

Observando ambas as fórmulas vemos que ainda nos falta calcular , e que são respectivamente, , e . Então, mãos a obra:

Show! Agora já temos tudo para calcular as médias.

Velocidade média.

Aceleração média.

O vetor velocidade instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor posição em função do tempo, ou seja:

Portanto o vetor velocidade instantânea para vale:

E o módulo vale:

Já temos as componentes e , podemos fazer uma analogia em que a componente é o cateto oposto, e a componente é o cateto adjacente. E então utilizando relação trigonométrica encontramos o ângulo do vetor resultante com o cateto adjacente, ou seja, com o eixo . Então:

O vetor aceleração instantânea pode ser obtido pela derivação do vetor velocidade em função do tempo, ou seja:

O módulo do vetor para vale:

Sua direção é (paralela ao eixo ).

As posições para os instantes e valem:

Portanto o deslocamento é igual a:

A velocidade média entre os intervalos e é por definição igual a:

Agora é só jogar na fórmula:

O problema nos fornece a equação da aceleração de um partícula e nos pede os vetores velocidade e posição em função do tempo.

Como a variação da velocidade é a integral da aceleração e o vetor deslocamento é a integral da velocidade. Precisamos apenas integrar a equação da aceleração. Então vamos lá.

Primeiro vamos encontrar a equação da velocidade, integrando a aceleração

Substituindo os valores de , e o de que o enunciado diz ser zero.

Para achar o vetor posição devemos integrar a velocidade

Vamos substituir os valores que acabamos de encontrar e o valor de

Para acharmos a equação da trajetória temos que sumir com o tempo e deixar a equação de forma que fique em função de

Pela equação da posição que acabamos de encontrar tempos que a posição e a posição .

Se isolarmos o tempo na equação de , temos

Podemos substituir isso na equação de e assim achamos a relação entre e

Isolando para acharmos a equação da trajetória

A trajetória será uma reta no plano

O problema nos fornece a equação da aceleração de um partícula e nos pede o vetor velocidade em função do tempo.

Como a variação da velocidade é a integral da aceleração, precisamos apenas integrar a equação da aceleração. Então vamos lá.

Primeiro vamos encontrar a equação da velocidade, então:

Substituindo os valores de , e o de que o enunciado diz ser zero.

Temos uma expressão para a posição da partícula em função do tempo. O único detalhe é que essa posição está sendo dada na forma de um vetor em e .

Vamos analisar cada afirmativa.

() A partícula passa pela origem do sistema de coordenadas.

Para que a partícula passe pela origem, basta que em algum instante de tempo a sua posição seja .

Então, vamos checar se isso acontece tanto em quanto em num mesmo instante.

Primeiro, vamos ver em quais instantes a partícula tem sua coordenada igual a zero:

Opaaa... achamos que a coordenada zera apenas em um instante de tempo negativo.

Como o tempo começa em , esse instante não existe.

A afirmativa () está incorreta.

() A tangente do ângulo entre o vetor velocidade e o eixo em é .

Vamos por partes.

Quem é o vetor velocidade?

Bom, a velocidade é a variação da posição, ou seja, sua derivada:

Agora, vamos descobrir o vetor velocidade no instante :

Agora, vamos calcular a tangente do ângulo que o vetor faz com a horizontal:

Para isso, basta usar as componentes em e em :

A afirmativa () está correta.

() O movimento da partícula não é acelerado.

Olhando para o vetor velocidade:

Podemos ver que ele varia, pois o termo da componente em tem um que vai alterar conforme o tempo.

Mas se quisermos ver explicitamente o vetor aceleração, basta derivar novamente:

Então, podemos ver que para todo instante de tempo após , há um vetor aceleração diferente de zero.

Assim, temos um movimento acelerado.

A afirmativa () está incorreta.

Temos apenas como correta, então, ficamos com a letra (b).

Temos o vetor posição em função do tempo.

Para descobrir a velocidade em função do tempo, basta derivar:

E pra descobrir a aceleração em função do tempo, temos que derivar de novo:

Calculando a velocidade:

Derivando de novo pra encontrar a aceleração, temos: