Essa aqui não é nada mais do que a aplicação da fórmula do momento angular:

Já que a velocidade e o vetor distância estão fazendo um ângulo de entre si. Se liga:

Então:

Essa é uma boa questão pra botar em prática o que você aprendeu sobre regra da mão direita!

Vamos usar o sistema de eixos dado na figura, onde o eixo aponta para fora da tela do seu computador.

Queremos o momento angular resultante, que é dado por:

Onde e são vetores que tem origem no ponto O e terminam nos pontos onde estão as partículas e , respectivamente.

Substituindo os valores das massas, bem como o módulo, direção e sentido das velocidades e das direções, temos:

Usando da regra da mão direita para calcular e :

O momento angular nesse caso pode ser calculado como

Isso porque o braço, nesse caso é o comprimento do fio, que é .

Vamos agora calcular a velocidade da partícula que é o que precisamos para achar o seu momento linear .

Como temos conservação de energia:

A energia inicial é:

Isso porque ele parte do repouso. Considerando o ponto mais baixo da trajetória com altura zero.

A energia final é:

Igualando:

O momento linear fica igual a:

E seu momento angular fica igual a:

A gente calcula o momento angular de uma partícula em relação à origem com a fórmula:

seria como o braço da alavanca pro torque, a distância da direção da velocidade da partícula à origem, enquanto é seu momento linear.

O sinal é positivo quando o momento angular faz girar no sentido anti-horário e negativo se ele faz girar no sentido horário.

Vamos começar pela partícula de velocidade .

Ela está a uma distância da origem, e faz girar no sentido anti-horário, então o seu momento angular em relação à origem é:

A partícula de velocidade também está a uma distância da origem, mas ela faz girar no sentido horário, então seu momento angular em relação à origem é:

Vamos finalizar com a partícula de velocidade . Repare que a direção dela aponta diretamente pra origem, então pra essa partícula temos . Logo,

Então o momento angular total desse sistema em relação à origem é dado por:

Vamos analisar as alternativas uma a uma:

Alternativa (a): o momento angular em relação a qualquer ponto do plano é constante.

Pela fórmula:

Derivando dos dois lados:

Ou seja, o momento angular só varia na presença de um torque externo ao sistema. Como não tem nenhuma força externa atuando no sistema, também não tem torque externo. Logo o momento angular não varia.

Então a alternativa (a) é verdadeira.

Alternativa (b): o momento angular em relação à origem é nulo.

O momento angular pode ser calculado por:

Onde é o vetor posição em relação a algum ponto. Para que esse produto vetorial seja nulo, o vetor posição deve estar paralelo à velocidade.

O vetor posição da partícula em relação a origem não está paralelo a velocidade. Então a alternativa é a incorreta que estamos procurando!

Vamos olhar as outras só para ter certeza.

Alternativa (c): o momento angular em relação ao ponto de interseção da trajetória com o eixo é nulo.

Essa é a mesma coisa que a alternativa anterior, só que agora é em relação ao ponto de interseção com o eixo . E nesse caso, o vetor posição está em paralelo com a velocidade e o momento angular realmente será nulo.

Então a alternativa é verdadeira.

Alternativa (d): o torque total sobre a partícula é nulo.

Como já dissemos na alternativa (b), visto que não há força externa, também não haverá torque externo. Assim diz a fórmula:

Logo a alternativa é verdadeira.

Alternativa (e): a força resultante sobre a partícula é nula.

Também já dissemos que não possui força externa sobre a partícula. Isso pode ser provado pelo fato de a velocidade ser constante. Então pela fórmula:

Se não há aceleração, a força resultante é nula.

Aprendemos que, se temos um gráfico :

Então vamos lá:

Calculando as áreas, tendo como base que cada quadradinho tem tamanho 1:

1. , retângulo de base e altura :
2. , trapézio de base maior , base menor e altura 2:
3. , retângulo de base e altura :

Portanto, como o disco está em estado estacionário(), temos:

Passo 3

Já calculamos a soma de e , nos resta então calcular as outras duas áreas:

• , área de um triângulo de base e altura .
• , área de um trapézio de base maior , base menor e altura .

E então, lembrando que devemos diminuir a última área, já que está abaixo do eixo, temos:

Aprendemos que:

Mas, como nesse item ele pede o torque médio:

Como foi pedido o módulo, a resposta da letra (a) é apenas o valor absoluto do torque médio.

Conhecemos a relação:

E, temos também a equação de torricelli da rotação, se liga:

Como o momento de inércia é uma constante:

Para encontrar o valor de , vamos usar a segunda lei de Newton da rotação:

Agora sabemos todos os valores, exceto :

Assim como o trabalho de uma força lá na translação era dado por:

Aqui é só mudar as letrinhas:

• A força vira o torque
• A distância vira o ângulo percorrido

A potência mantém a sua definição: trabalho realizado por tempo.