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Enunciado

Física - Fundamentos de Física - Mecânica Volume 1 - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Adicionais - Ex. 70

Um bloco homogênea de granito em forma de livro possui faces de 20   c m por 15   c m e uma espessura de 1,2   c m . A massa específica (massa por unidade de volume) do granito é 2,64   g / c m 3 . O bloco gira em torno de um eixo perpendicular às faces, situado à meia distância entre o centro e um dos cantos. O momento angular em torno desse eixo é 0,104   k g ∙ m 2 / s . Qual é a energia cinética de rotação do bloco em torno desse eixo?

Passo 1

Primeiro, devemos lembrar que o momento de inércia de uma placa fina cujo o eixo de rotação analisado seja coincidente ao eixo perpendicular a face passando pelo centro é:

I C M = 1 12 M ( a 2 + b 2 )

Onde a e b são a largura e o comprimento.

A distância entre o centro de massa o ponto onde passa o eixo de rotação pode ser calculada aplicando Pitágoras:

d = a 4 2 + b 4 2

Porque o eixo está posicionado a meia distância do centro para as bordas, ou seja, a metade (da borda até o centro) da metade dos comprimentos. Assim, aplicando o teorema dos eixos paralelos temos:

I = I C M + M d 2

I = 1 12 M a 2 + b 2 + M a 4 2 + b 4 2     e q . 1

Passo 2

Devemos perceber que foi nos dado a massa específica do corpo, porém precisamos da massa do corpo, então, iremos usar a seguinte relação para determina-la:

ρ = M V

Isolando a massa:

M = ρ V

M = ρ a b h

Substituindo os valores:

M = 2640 × 0,2 × 0,15 × 0,012

M = 0,950   k g

Passo 3

Então, substituindo os valores no momento de inércia, temos:

I = 1 12 0,95 0,2 2 + 0,15 2 + 0,95 0,2 4 2 + 0,15 4 2

I = 8 , 66 × 10 - 3   k g ∙ m 2

Passo 4

Usando o valor do momento angular dado para determinar a velocidade angular, temos:

L = I ω

Isolando ω e substituindo os valores:

ω = 0,104 8 , 66 × 10 - 3 = 1 2,0   r a d / s

Passo 5

Por fim, calculando a energia cinética:

K r o t = 1 2 I ω 2

Substituindo os valores:

K r o t = 1 2 8,66 × 10 - 3 1 2 2

K r o t = 0,623   J

Resposta

K r o t = 0,623   J

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