Torque

Este é um exercício de aplicação da definição de torque, sem mistério! Se liga na imagem.

Se usarmos a forma simplificada:

Onde é o ângulo entre o vetor direção e a força.

Temos que e a nossa força é a força peso do ciclista. Portanto, substituindo os valores, temos:

Para encontrarmos o torque resultante, iremos realizar a soma vetorial dos torques gerados por cada força.

No entanto, é SUPER IMPORTANTE que você se atente aos sinais de cada torque. Por isso, vamos calcular as intensidades do torque através da fórmula do módulo do torque, mas usaremos a regra da mão direita para definir para que sentido cada um deles aponta.

Definimos o eixo apontando para você como o sentido positivo, e então:

Para calcular o módulo do torque usamos a fórmula:

Lembrando que é o ângulo entre os vetores   e  . Aplicando a fómula para os pontos A, B e C:

Agora precisamos realizar a regra da mão direita, para descobrir para que sentido apontam os vetores.

Se você reparar na figura, é possível visualizar que, tanto   quanto   tendem a girar nosso objeto no sentido anti-horário em relação ao eixo de rotação e isso vai gerar um torque que aponta para você, portanto positivo. Já   faz o nosso objeto girar no sentido horário, o que gera um torque negativo, já que o dedão aponta no sentido de furar a tela. Logo:

Obtendo o torque resultante:

A gente aprendeu que torque é um produto vetorial, entre um vetor Força e um vetor Raio (Braço)

Então o que vamos fazer nesse exercício é calcular os torques gerados pela força   para a letra e para força  para letra .

O enunciado nos diz que em ambos os casos temos um raio , sendo  , vetores unitários dos eixos e respectivamente.

Vamos fazer um desenho pra gente visualizar melhor esse braço de alavanca.

Agora vamos pra cada uma das forças calcular o torque de cada uma das forças agindo na partícula em relação a origem, beleza?

(a) Por ser um exercício em 3 dimensões fica difícil representar a imagem, mas “planificando” nossas dimensões:

Um detalhe que facilita um pouco a nossa vida é que a força só possui componente em como mostrado no desenho, daí o produto vetorial fica:

Poderíamos resolver de forma matricial ou usando distributiva, nesse caso usaremos a distributiva.

Podemos usar uma regrinha aqui pro sinal do produto vetorial com essa figura aqui:

Só pensar no sentido do produto, se o sentido for horário o resultado é positivo e se o sentido for anti horário é negativo. Na primeira parcela temos:

de para o sentido é anti-horário e o resultado dessa parcela é negativo.

de para o sentido é horário e o resultado dessa parcela é positivo.

então:

(b) Realizando a mesma coisa para :

O produto vetorial entre dois vetores que estão no mesmo sentido vale 0 (lembra que na fómula aparece , logo:

Usando aquela regra do sentido, podemos encontrar pra cá também o resultado do produto vetorial.

A parcela de para vai dar pra gente , a outra parcela de para vai nos dar algo no sentido , assim temos:

Lembrando que torque é força vezes a distância até o eixo e adotando o sentido horário como positivo, teremos:

Roda maior:

Roda menor:

O torque total será:

O primeiro passo aqui é montar uma equação que deixe explícita todas as variáveis do problema. Nós acabamos de aprender uma:

Beleza, o é constante e o é uma variável que vamos analisar. Resta pra nós calcular o valor de , o torque resultante das forças que agem no corpo.

Sabemos que:

Pela definição de torque, temos que:

Pela regra da mão direita, conseguimos o sentido do vetor , que aponta para dentro da tela. Já o módulo, usamos que:

Usaremos que o eixo é orientado positivamente para fora da tela do computador, então:

Faremos o mesmo agora com a força :

Combinando os resultados da regra da mão direita com a fórmula simplificada para o módulo:

Combinando os resultados:

E então:

Na letra (a), se deseja manter a velocidade angular constante, ou seja, a aceleração angular deve ser zero.

Se precisamos manter o módulo de constante e diminuir o ângulo , perceberemos que o lado direito da equação acima irá diminuir. Portanto, para manter a equação válida devemos diminuir o módulo de .

Na letra (b), podemos imaginar o movimento no ponto onde a força está aplicada.

Sabendo que somente a componente perpendicular ao raio realizará esse movimento, podemos concluir que o disco giraria no sentido horário se somente a força fosse aplicada.

Já na letra (c), aplicando o mesmo conceito, , conseguimos concluir que o disco giraria no sentido anti-horário se somente a força fosse aplicada.

Para analizarmos a variação da aceleração angular com o valor de , precisamos de uma expressão que relacione essas duas variáveis.

Vamos usar a irmãzinha da segunda lei de Newton:

Beleza, temos que encontrar o torque total :

A força tem módulo e direção fixa, além de não ser de nosso interesse nesse problema. Portanto, deixemos o torque realizado por ela como mesmo.

Já na força , apesar de ter o módulo fixo, há uma variação do ângulo que a força faz com o vetor direção. Logo:

Onde é a distância do eixo de rotação para o ponto de aplicação da força, que se mantém fixa.

Juntando as equações:

Temos:

Como queremos analisar a variação da aceleração angular :

Com os ângulos em questão, temos o seguinte:

Logo:

O caminho para a resolução dessa questão será:

1. Encontrar o torque total que age no corpo
2. Encontrar a aceleração angular da barra (que é a mesma para todos os pontos)
3. Encontrar a aceleração linear de cada partícula.

Mãos à obra!

Como a barra não tem peso, as únicas forças que agem nesse sistema são os pesos das partículas 1 e 2, ambos, como sempre, apontando para baixo.

Ficou fácil! Vamos lá:

Se ligou que o peso é perpendicular ao vetor direção? Isso significa que o seno entre os dois vetores é sempre , portanto:

E então usamos a regra da mão direita para saber o sentido do torque. Nunca esquecendo de definir um sentido para ser o positivo. Usaremos aqui o eixo saindo da tela como positivo.

Vamos lá: o torque realizado pelo peso da partícula 1 é, portanto, positivo. Já o da partícula 2 é negativo.

Reunindo os resultados:

Para encontrar a aceleração angular, temos que primeiramente encontrar o momento de inércia do sistema.

Sabendo que a barra tem massa desprezível:

E então:

Usando a relação do torque com a aceleração angular:

E podemos, finalmente, isolar o :

Agora é fácil encontrarmos o que é pedido, só lembrar lá da cinemática:

E então, para cada partícula, temos:

Substituindo os valores no SI:

Esse é mais um exercício sem mistério, a abordagem é a mesma. Primeiramente, vamos encontrar o torque resultante das 4 forças e depois aplicar a relação:

Para então encontrar a aceleração angular.

Devemos lembrar também que essa relação também é válida na forma vetorial, ou seja:

O que significa que a rotação que o torque imprime ao corpo tem o mesmo sentido e a mesma direção que a aceleração angular.

Para encontrarmos o torque resultante, fazemos a soma vetorial dos torques de cada força:

Vamos calcular um por um. Já vamos fazendo a conta e fazendo a regra da mão direita para definirmos o sentido da rotação.

Para , temos que:

Em :

Já para :

No entanto, a linha de ação da força passa pelo eixo de rotação, logo:

Reunindo os resultados:

Agora, precisamos do valor do momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa dele. Este valor é tabelado e vale:

Substituindo os valores de e :

Por último, temos:

E então: