Polias Simples
Teoria
Introdução
As cordas normalmente são usadas em conjunto com um sistema de polias. Vamos agora aprender sobre as polias simples. Mas, pra que servem essas polias e o que é polia simples? Vamos dar uma olhada nesse sistema aqui:
A polia é chamada de simples pois ela está fixa, ela não pode se mover. Já vimos que os fios possuem a característica de preservar a tensão nos seus dois extremos, mas estes mecanismos conseguem alterar a direção da tração. Como a corda é inextensível os blocos vão funcionar como um sistema e andarão juntos com uma certa aceleração.
Tração nos cabos e aceleração do sistema
Se a gente retirar da figura o fio e desenhar o diagrama de corpo livre de cada bloco vai ficar mais fácil de enxergar como a tração no cabo atua:
Repare que no bloco azul a tração no cabo estava na direção e usando a polia a mesma tração só que atuando no bloco verde está em E a aceleração? Como o sistema trabalha em conjunto a aceleração dos blocos são iguais e são iguais a aceleração do sistema, porém cada uma vai ter uma direção. No nosso exemplo o peso do bloco verde faz o bloco se deslocar pra baixo, e a aceleração de cada um aponta da seguinte forma:
Ou seja:
Pra gente entender isso melhor, bora calcular a tração no cabo e a aceleração no sistema se e
Aqui a gente vai fazer um sisteminha, usando a segunda lei de Newton para cada bloco, começando pelo bloco azul, temos o DCL:
Como o bloco não se desloca em , só nos interessa o eixo . Usando a segunda lei de Newton temos:
Como no eixo só temos a força de tração a gente pode dizer que:
E aqui a gente já sabe a direção de cada coisa, então não vamos precisar da notação vetorial ou seja podemos trabalhar com os módulos.
No bloco verde o DCL é:
Aqui o bloco não se movimenta em , vamos trabalhar só em .
Onde é a aceleração da gravidade e vale 9,81
E pela segunda lei, considerando o sentido positivo para baixo:
Ou seja:
Substituindo a equação 1 na equação 2:
Enfim isolando a aceleração , e aqui todo os sentidos foram considerados não necessitando entrar com o sinal da gravidade.
E enfim substituindo os valores:
E a tração a gente pode tirar da primeira equação:
E se você quiser conferir se os seus resultados estão certos pode conferir na equação 2:
Máquina de Atwood
E quando os dois corpos estão na vertical? A máquina de Atwood é exatamente isso, dois corpos são unidos por uma polia simples, mas e aí como calculamos a aceleração e a tração no cabo agora? Vamos dar uma olhada no sistema:
Vamos fazer o diagrama de corpo livre de cada bloco e na polia para entender bem:
Lembre-se: a polia não muda o módulo da tração na corda, logo: .
Agora, como sabemos para determinar o sentido desse movimento? Tudo depende de qual corpo é mais pesado! Se é maior que , temos que o bloco de massa desce enquanto o de massa sobe. Caso contrário, se , o bloco 1 desce e o bloco 2 sobe.
E se não soubermos as massas? Simples! Nesse caso, fazemos uma suposição de que o movimento tem um dado sentido e se acharmos uma aceleração negativa, já sabemos que consideramos o sentido errado.
Como a polia é fixa, quando um bloco sobe uma distância , o outro desce essa mesma distância . Assim, a aceleração dos dois blocos é a mesma!
Vamos encontrar a aceleração no caso de e
Como , temos:
Para o bloco 2, o sentido positivo é pra baixo já que é o bloco de maior massa.
E para o bloco 1, o sentido positivo é pra cima!
Resolvendo o sistema formado por essas duas equações acima, temos:
E aí substituindo:
Temos a aceleração:
Máquina de Atwood
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 121-55
A Fig. 5-53 mostra dois blocos ligados por uma corda (de massa desprezível). O conjunto é conhecido como máquina de Atwood. Um bloco tem massa ; o outro tem massa . Quais são (a) o módulo da aceleração dos blocos e (b) a tensão na corda.
Passo 1
Pra gente resolver essa questão vamos ter que montar dois diagramas de corpo livre, um pra cada bloco e encontrar a equação para cada um deles. Após fazermos isso vamos ter um sistema que vai depender da tração no cabo e da aceleração do sistema, ao resolver o sistema resolveremos a questão.
A grande sacada de questões desse tipo é lembrar que a corda é inextensível, ou seja, ela tem um tamanho fixo. Quer entender melhor como isso funciona? Veja o desenho abaixo, da máquina em um instante, e em um pequeno instante depois.
Percebeu? A mesma distância que subiu, desceu. Daqui a gente pode ver que a aceleração do bloco verde é para cima e a do bloco laranja é para baixo, você pode ver isso simplesmente pela massa de cada bloco.
Se os fios são inextensíveis é possível prova uma relação entre as acelerações mas como a dedução dela não é o foco vamos voltar nossa atenção para guarda-la, a relação é essa aqui:
O que significa que elas tem mesmo módulo mas sentidos opostos!
Passo 2
Faremos agora o diagrama de corpo livre de cada um dos dois blocos, lembrando que, por ser o mesmo fio que liga os blocos, a tensão é igual.
Para o bloco de massa :
Vamos aplicar aqui a segunda lei de Newton e como esse bloquinho sobe o sentido pra cima será adotado como positivo para ele:
Temos:
Substituindo os valores de e , e chamando o módulo em comum das acelerações de :
Temos então a equação do primeiro bloco, vamos encontrar a do segundo.
Passo 3
Para o bloco de massa faremos o mesmo processo, começando pelo DCL:
Seguindo a mesma lógica do outro bloco vamos tomar como positivo o sentido da aceleração, assim podemos aplicar a segunda lei de newton:
Substituindo os valores de , , e sabendo que :
Encontramos a equação do segundo bloco, hora de montarmos o sistema.
Passo 4
Temos agora, então, um sistema com duas equações que dão a resposta das letras a e b:
Somando as duas equações a gente vai ter o seguinte:
Agora pra encontrar a tração é só a gente voltar em qualquer uma das duas equações e substituir , aqui escolherei a primeira.
Achamos então:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 122-65
A Fig. 5-57 mostra três blocos ligados por cordas que passam por polias sem atrito. O bloco B está sobre uma mesa sem atrito; as massas são e . Quando os blocos são liberados qual é a tensão da corda da direita?
Passo 1
A saída aqui também é pensar no tamanho fixo dos fios que ligam os blocos e concluir que: o mesmo deslocamento que o bloco C tiver para baixo, o bloco B terá para direita e o bloco A terá para cima. O que, pensando nas acelerações, nos dá:
Passo 2
Podemos aplicar a segunda lei de Newton, junto com o Diagrama de Corpo Livre em cada um dos corpos, mas temos que lembrar que temos dois fios diferentes, portanto, chamaremos de a tração do fio da esquerda e de a tração do fio da direita.
No bloco C, analisando somente as forças na vertical, já que seu movimento se limita a esse eixo:
Substituindo os valores conhecidos:
)
Já no bloco B, analisaremos somente as forças na horizontal:
Substituindo os valores conhecidos:
E finalmente, no bloco A, analisando só na vertical de novo:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 3
Para encontrar a aceleração , faremos:
E obteremos:
Para chegarmos a resposta do problema, o valor da tensão , substituiremos o valor de na Eq.1:
Resposta
Exercício Resolvido #3
UERJ-LISTA 1-6
Um pintor de está sobre uma plataforma de suspensa por uma roldana ideal (veja a figura abaixo). Puxando a corda ele faz a plataforma subir com aceleração de .
Desenhe o diagrama de forças que atuam no pintor e na plataforma e escolha um sistema de referência.
Escreva as leis de Newton para o pintor e para a plataforma.
Determine cada uma das forças que atuam no pintor.
Determine cada uma das forças que atuam na plataforma.
Passo 1
Além das forças que já estamos acostumados a colocar em nossos corpos, é importante percebermos que existe uma normal sobre o pintor porque ele está em contato com a plataforma e por causa da Terceira Lei de Newton vai existir, sobre a plataforma, a reação dessa normal apontando no sentido oposto.
Passo 2
Vamos montar as equações do movimento usando a Segunda Lei de Newton para cada um dos corpos e vamos adotar para cima como sentido positivo.
Para a plataforma
E para o pintor
Passo 3
O peso do pintor é dado por
Para achar a tração podemos somar as duas equações do passo 2 no sistema:
Isolando :
Voltando ao sistema e olhando para a segunda equação do passo 2:
Isolando :
Passo 4
Já calculamos a normal e a tração no passo anterior, e sabemos que ambas as forças são reações às forças do pintor. Agora só falta o peso da plataforma, assim:
Resposta
Para a plataforma
E para o pintor
, e
, e
Exercício Resolvido #4
Elaboração Própria
Três blocos , e , estão dispostos como o sistema mostrado na figura abaixo. Sabendo que o atrito é desprezível e as massas dos blocos são , e respectivamente. Determine a aceleração do conjunto, a força de tração no fio e a força de contato. Considere o módulo da aceleração da gravidade sendo .
Passo 1
Normalmente começamos um problema com vários blocos, fazemos o DCL do sistema. Neste caso, como temos o bloco se movimentando na vertical e os blocos e se movimentando na horizontal, fazer o sistema pode ser algo mais complicado, então iremos montar as equações para cada bloco.
Os dados do problema são
Em problemas literais é sempre bom escrever os dados separados para mais tarde conferir se as respostas estão de acordo com esses dados.
Para o bloco
Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças
- A massa dele é considerada?
- Ela esta encostada em alguma superfície?
- Tem algum fio?
- Tem mola?
Sim, ele tem massa.
Não, o bloco não está apoiado em nenhuma superfície.
Sim, existe um fio.
Não, não existe mola atuando.
O seu DCL fica
Passo 2
Como podemos perceber, não existe movimento horizontal ao longo do . Então vamos nos preocupar apenas com o .
Lembrando que para cima é positivo e para baixo é negativo.
Vamos considerar o módulo da aceleração sendo . O movimento é para baixo, pois o bloco puxa todos com o seu peso. Então teremos no
Só com essa equação não resolvemos nada, vamos para os outros blocos.
Passo 3
Para o bloco
Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças
- A massa dele é considerada?
- Ela esta encostada em alguma superfície?
- Tem algum fio?
- Tem mola?
Sim, ele tem massa.
Sim, o bloco está em contato com o chão e com o bloco .
Não, não existe fio atuando.
Não, não existe mola atuando.
Repare que existe uma força que chamaremos de força de contato, ela funciona como uma normal entre os blocos e . O seu DCL fica
Passo 4
Como podemos perceber, não existe movimento vertical ao longo do . Então vamos nos preocupar apenas com o .
Lembrando que para direita é positivo e para esquerda é negativo.
Considerando o módulo da aceleração sendo , o movimento é para direita, pois o bloco puxa todo com o seu peso. Então teremos no
Só com essa equação não resolvemos nada, vamos para o último bloco.
Passo 5
Para o bloco
Vamos responder as perguntas do passo a passo para colocar as forças
- A massa dele é considerada?
- Ela esta encostada em alguma superfície?
- Tem algum fio?
- Tem mola?
Sim, ele tem massa.
Sim, o bloco está em contato com o chão e com o bloco .
Sim, existe um fio.
Não, não existe mola atuando.
Repare que existe uma força que chamaremos de força de contato, ela funciona como uma normal entre os blocos e . O seu DCL fica
Passo 6
Como podemos perceber, não existe movimento horizontal ao longo do . Então vamos nos preocupar apenas com o .
Lembrando que para direita é positivo e para esquerda é negativo.
Considerando o módulo da aceleração sendo , o movimento é para direita, pois o bloco puxa todo com o seu peso. Então teremos no
Vamos agora juntar as equações que achamos.
Passo 7
Esse sistema não é muito simples de se resolver, mas temos uma forma de resolver que facilita tudo, e pode ser feito com freqüência. Primeiro devemos deixar todas as acelerações dos blocos positivas, multiplicando a equação por .
Podemos agora somar os valores do lado esquerdo, e depois os do lado direito, dessa forma
Repare que quando somamos tudo que é força q não sabemos se anula na direita. Podemos fazer isso sempre.
Passo 8
Agora, que sabemos a aceleração, temos pela equação que
Substituindo o valor de
Passo 9
Usando a equação , temos
Resposta
Exercício Resolvido #5
USP- P1-2010-Q3
Inicialmente o sistema de corpos mostrado na figura parte do repouso. Todas as superfícies, polia e rodas são sem atrito. O corpo de massa é preso ao corpo de massa , podendo deslizar verticalmente sem atrito, mas não podendo se afastar dele.
a) Qual é a força horizontal que tem de ser aplicada ao carro para que os blocos permaneçam estacionários em relação ao carro?
Para , no instante após ser solto o sistema de corpos, encontre:
b) A tensão no fio.
c) A aceleração de .
d) A aceleração de .
e) A aceleração de .
Passo 1
a)
Para que não se movimente em relação a , ele tem que ter a mesma aceleração que todo o conjunto.
A aceleração do conjunto vai ser
Já no bloco de massa a força resultante é a tração, assim
Como queremos que o bloco não se mova em relação ao bloco grande temos que o bloco também não pode se mover. Assim, escrevendo a segunda lei na vertical pro segundo bloco
Se jogarmos esse valor de na aceleração do bloco ficamos com
Agora só falta impor que
Isolando
Passo 2
b)
Nesse caso, os três blocos vão ter acelerações diferentes. O bloco estará sujeito a uma aceleração para a esquerda devido à força de reação a tração no bloco . O bloco estará sujeito a uma aceleração para baixo devido à gravidade. O bloco estará sujeito às duas acelerações, e portanto, sua aceleração será a diferença entre elas, .
Agora que já está tudo explicado, vamos aos cálculos. Vamos aplicar a segunda lei de Newton:
Para o bloco :
Para o bloco :
Dividindo tudo por :
Para o bloco :
Agora é só substituir as e na primeira equação:
Passo 3
c)
Da equação temos:
Substituindo o valor da tração:
Passo 4
d)
Da equação temos:
Substituindo o valor da tração:
Passo 5
e)
Da equação temos:
No bloco , temos que a aceleração é dada por:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
Exercício Resolvido #6
Halliday, David, Fundamentos de física, volume I : mecânica, 8 ed. Rio de Janeiro : TLC, 2008, pp. 121-59
Um bloco de massa sobre um plano sem atrito inclinado, de ângulo , está preso por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de massa e atrito desprezíveis, a um outro bloco de massa (Fig 5-55). Quais são (a) o módulo da aceleração de cada bloco, (b) a orientação da aceleração do bloco que está pendurado e (c) a tensão da corda?
Passo 1
Temos aqui um problema de análise de corpos sobre forças, onde são pedidas as acelerações dos blocos e a tensão que age sobre os dois blocos. Aprendemos que, fazendo os Diagramas de corpo livre e aplicando a segunda lei de Newton, conseguimos esses resultados. No entanto, a única jogada desse problema que é necessária para resolvê-lo fora isso é usando que a corda é inextensível, e portanto, como os deslocamentos são iguais, O MÓDULO das acelerações são iguais.
Isso mesmo! É importante ressaltar que apenas o módulo das acelerações são iguais, já que, as direções que os blocos se movimentam são diferentes.
Passo 2
Com as considerações do passo anterior, podemos começar a fazer o diagrama de corpo livre dos dois blocos, lembrando também que a tensão é a mesma ao longo do fio.
Como este corpo não entra no plano e nem sai dele, concluímos que a aceleração dele está na direção do plano inclinado, portanto, aplicando a segunda lei de Newton no eixo do movimento, temos:
Perceba que foi admitido que é positivo, ou seja, está na direção do eixo indicada na figura, subindo o plano inclinado. Caso nossa suposição esteja errada, dará um resultado negativo.
Percebe-se que este corpo também está fadado a se movimentar somente no sentido vertical, já que não existem forças horizontais atuando nele (o que já responde parcialmente a letra (b)). Além disso, devemos ficar ligados com as direções que chutamos, para que não haja discordância. No corpo de massa , supomos que ele está subindo o plano, portanto, necessariamente temos que admitir que este bloco, de massa , está descendo.
Aplicando então a segunda lei de Newton:
Se somarmos as duas equações obtidas, temos que:
Concluímos anteriormente que:
Aplicando este resultado e substituindo os valores conhecidos:
Passo 3
Para concluir a resposta da letra (b), precisamos saber o sentido do movimento do bloco pendurado. Como a resposta de deu positiva, nossas suposições estavam certas e o bloco pendurado está descendo.
Portanto, o bloco pendurado está se movendo verticalmente para baixo com aceleração .
Passo 4
Sabendo a aceleração dos corpos, podemos coloca-la em qualquer equação encontrada anteriormente para descobrirmos a tensão no fio. Vamos escolher a :
E então:
Resposta
- Verticalmente para baixo
Exercício Resolvido #7
PUCRIO-P1-B-2013.2 Q2
O plano abaixo tem inclinação em relação à horizontal igual a . Duas cordas inextensíveis e uma polia, ambas sem massa, mantém em equilíbrio três caixas. Despreze o atrito entre as caixas e o plano. Responda aos itens abaixo, sabendo que a caixa tem massa igual a , a caixa tem massa igual a , e que .
Escreva a expressão literal para as equações de movimento das três caixas, em termos das suas componentes, utilizando os respectivos sistemas de coordenadas indicados na figura. Em seguida calcule o valor da massa da caixa .
Calcule e escreva utilizando notação vetorial a força normal que a caixa exerce sobre o plano.
Suponha agora que a caixa tem massa igual a . Calcule a componente horizontal da aceleração da caixa .
Passo 1
Antes de escrever as equações, vamos primeiro fazer o diagrama do corpo livre, o famoso DCL.
Agora que sabemos quais forças e como elas atuam nos corpos, podemos montar as equações do movimento.
Passo 2
De acordo com a segunda Lei de Newton, teremos que o somatório de forças em cada corpo é igual ao produto de sua massa vezes a aceleração. Como todos os corpos estão ligados por fios inextensíveis, teremos que essa aceleração será a mesma para todos os corpos, e iremos adotar para designá-la. Vamos decompor o movimento nas duas componentes para ficar mais fácil a visualização. Lembrando que iremos utilizar o sistema de coordenas para os corpos e e o sistema para o corpo !
Agora, podemos começar, para o corpo , temos:
Em :
Em , como não há movimento, temos:
Para o corpo , temos:
Em :
Em , como não há movimento, temos:
Para o corpo , como temos somente movimento em ’, temos:
Em ’:
Passo 3
Para determinar a massa do corpo , vamos somar todas as equações de movimento em e em , de modo a cancelar os valores que não temos:
Somando, temos:
Como temos que o sistema está em equilíbrio, sabemos que
Para achar a massa do corpo , basta substituir os valores:
Passo 4
Pela equação do movimento em para o corpo , temos:
Teremos, em módulo:
Como ele pede a força normal que o bloco faz no plano, teremos, vetorialmente, que:
Veja que essa não é a força normal que desenhamos no diagrama do corpo livre. A desenhada é a força que o plano faz no bloco. Ela será igual em módulo e sentido, mas a direção será contrária.
Passo 5
Agora as coisas ficam um pouco diferentes, o sistema sairá da situação de equilíbrio. As equações de movimento que montamos no item ainda estão valendo, só que agora, será diferente de zero. Retomando a equação que já tínhamos achado, temos:
Para determinar a aceleração, é só substituir os valores conhecidos:
Achamos um valor negativo, pois essa aceleração aponta para baixo, no caso do bloco .
Para determinar a componente horizontal da aceleração da caixa , basta decompor, teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #8
UFRJ-Física 1-P1 2015.1 D2
Uma cunha, formada pela junção de duas rampas inclinadas de ângulos e , está fixa ao solo. Os blocos de massas e estão ligados por um fio ideal que passa por uma polia ideal fixa no vértice da cunha. Os blocos estão inicialmente em repouso e cada um deles encontra-se em uma das rampas, como mostra a figura.
Desprezando o atrito entre os corpos e as superfícies das rampas
a) desenhe o diagrama de forças para cada um dos blocos, separadamente;
b) supondo que as massas sejam tais que o bloco de massa desça a rampa à esquerda, determine o módulo da aceleração ;
c) obtenha a razão para que o sistema permaneça em repouso;
d) de acordo com o item (c), qual o valor da tração no fio?
Passo 1
a)
As forças atuando nos blocos são as força peso e , as forças normais da superfície e e as força de tração dos fios e .
O diagrama do bloco de massa é:
E pro bloco de massa :
Passo 2
b)
As forças resultantes atuando nos 2 blocos são:
Então, pela 2ª lei de Newton:
O problema é que, pros 2 blocos, a força peso não faz um ângulo maneiro com normal ou a tração!
Passo 3
Agora fatalmente vamos ter que decompor as forças peso dos 2 blocos, pra elas terem componentes paralelas e perpendiculares às forças normal e de tração. Saca só:
Passo 4
Aplicando uma trigonometria básica, obtemos:
Passo 5
Então o diagrama de forças nos blocos ficou:
Passo 6
Agora temos que fazer umas considerações importantes. Primeiro, podemos reparar que os fios e as roldanas são ideias, então as trações e tem mesmo módulo, que podemos chamar de :
E não só isso! Pelo mesmo motivo, as acelerações dos blocos também tem o mesmo módulo :
Excelente, né?
Passo 7
Pronto, agora podemos voltar a usar nossa querida 2ª lei de Newton.
Começando pelo bloco de massa :
Não há nenhum movimento no eixo perpendicular à cunha, as forças e se cancelam. O movimento é todo no eixo paralelo à cunha, logo:
Como o bloco está descendo, em módulo isso fica:
Passo 8
Agora vamos ao bloco de massa :
Pra ele também não há movimento no eixo perpendicular à cunha, pois e se cancelam. O movimento é só no eixo paralelo à cunha, então, pela 2ª lei de Newton:
E como o bloco está subindo:
Passo 9
Então obtivemos um sistema:
Vamos somar as 2 equações:
Temos e , logo:
Passo 10
c)
Pra que o sistema fique em repouso, devemos ter
Então a razão entre as massas é
Passo 11
d)
Vimos ali atrás que
Mas agora estamos considerando , logo:
Podemos também expressar em função de e , o que dá
Resposta
a)
b)
c)
d)
ou