10.4E Uma roda em forma de anel é solta em uma rampa. A força de atrito entre a rampa e a roda é F a t ≤ 0,30   N , onde N é a força normal que a rampa faz sobre a roda. Calcule o ângulo máximo de inclinação da rampa para que o movimento seja de rolamento.

Passo 1

Belezoca galerinha, como estamos falando de um rolamento no plano inclinado, podemos representar nosso sistema como:

Onde N é a força normal, M g é a nossa força peso e F a é a nossa força de atrito, dessa maneira, se o corpo rola, quer dizer que ele vai possuir uma aceleração resultante tal que o somatório das forças é:

M g sen ⁡ θ - F a = M a

Mas essa força de atrito é a responsável por gerar o torque τ que faz o anel rolar, então sendo R o raio do anel, teremos que:

τ = R × F → a t r i t o

E o torque também pode ser expresso como:

τ = I α

Onde I é o momento ne inércia do objeto e α é aceleração angular do objeto, sendo relacionada com a aceleração linear através da relação a = α R , dessa maneira podemos igualar os torques tal que:

R × F → a t r i t o = I a R

F → a t r i t o = I a R 2

De forma que o somatório das forças se torna:

M g sen ⁡ θ - I a R 2 = M a

Então se a gente isolar a aceleração, vamos obter:

g sen ⁡ θ - I a M R 2 = a

g sen ⁡ θ = a + I a M R 2 ⇒ g sen ⁡ θ = a 1 + I M R 2

a = g sen ⁡ θ 1 + I M R 2

Onde I é o momento de inércia do objeto, nesse caso dado para o anel como I = M R 2 , de forma que a aceleração linear será:

a = g sen ⁡ θ 1 + M R 2 M R 2

a = 1 2 g sen ⁡ θ

Passo 2

Logo se a gente substituir essa aceleração na nossa força resultante, e também substituir o valor da força de atrito teremos que:

M g sen ⁡ θ - 0,30   N = M 1 2 g sen ⁡ θ

E como temos que a força normal é N = M g cos ⁡ θ , nossa equação pode ser reescrita como:

M g sen ⁡ θ - 0,30   M g cos ⁡ θ = M 1 2 g sen ⁡ θ

Portanto se a gente der uma organizadinha nos termos, vamos obter que:

sen ⁡ θ - 0,30 cos ⁡ θ = 1 2 sen ⁡ θ

sen ⁡ θ - 1 2 sen ⁡ θ = 0,30 cos ⁡ θ

1 2 sen ⁡ θ = 0,30 cos ⁡ θ

Lembrando que tan ⁡ θ = sen ⁡ θ / cos ⁡ θ :

tan ⁡ θ = 0,6

Logo:

θ = arctan ⁡ 0,6

θ ≈ 31 °

Resposta

θ ≈ 31 °

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