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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 9.1 - Ex. 83

Um cilindro homogêneo de 60 k g tem um raio de 18 c m e está rolando sem deslizar, sobre um piso horizontal, com uma rapidez de 15 m / s . Qual foi a mínima quantidade de trabalho necessária para lhe imprimir esteve movimento?

Passo 1

Oláaaa, querido!

O cilindro rola sem deslizar, ele quer saber o trabalho necessário para colocar ele nesse movimento.

Se liga! Todo trabalho que for dado pro cilindro vai ser utilizado para dar energia cinética para ele, e como ele gira e se move horizontalmente também, essa energia cinética se divide em energia cinética translacional (responsável pelo movimento horizontal) e rotacional (responsável pela rotação).

Então, pela conservação de energia:

W = Δ K

W = K t r a n s l a ç ã o + K r o t a ç ã o

Então, vamos conservar a energia e achar W !

Passo 2

Vamos calcular cada uma dessas parcelas da energia. A energia responsável pelo movimento horizontal é a energia cinética de translação, que tem essa fórmulinha:

K t r a n s l a ç ã o = m v c m 2 2

Onde v c m = 1,5   m / s é a rapidez do centro de massa do cilindro, com que o cilindro se move pelo piso. Já a de rotação tem essa fórmulinha:

K r o t a ç ã o = I ω 2 2

Mas lembra que I é o momento de inércia do cilindro em relação ao seu centro (eixo de rotação) e vale I = 1 2 m R . E como não há deslizamento, a gente pode escrever a rapidez angular ω usando essa expressão:

v c m = R ω → ω = v c m R

Substituindo as nossas expressões de ω e I em K r o t a ç ã o :

K r o t a ç ã o = 1 2 m R 2 v c m R 2 2 = m v c m 2 4

Passo 3

A conservação de energia fica:

W = Δ K

W = K t r a n s l a ç ã o + K r o t a ç ã o

W = m v c m 2 2 + m v c m 2 4

W = 3 m v c m 2 4

Substituindo valores numéricos:

W = 3 × 60 k g × 15 m s 2 2

W = 10 k J

Resposta

W = 10 k J

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