Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios e Problemas - Ex. 19
11.19E Aplique a fórmula obtida no Problema 11.18 para o sistema Terra-Lua e calcule a diferença entre o período da Lua e o de um satélite artificial que orbitasse a Terra em órbita circular cujo raio fosse igual à distância média entre os centros da Terra e da Lua.
Passo 1
Beleza galera, no exercício anterior verificamos a fórmula para o período como:
Onde e são as massas respectivas dos corpos, enquanto é a distância entre eles, no nosso caso temos a Terra e a Lua, sendo assim as massas são e , e a distância entre os centros de massas é . Então de acordo com nossa expressão que calcula o período em relação ao centro de massa do sistema, temos que o período é:
Ou passando para dias, obtemos que:
Passo 2
Agora se a gente for calcular o período usando a distância média, usamos a expressão:
Onde é a velocidade angular, que podemos relacionar com a velocidade linear e o raio , que é a distância média da Terra a Lua, tal que:
E essa velocidade é a velocidade linear que a Lua possui, e essa velocidade é famosíssima velocidade orbital, ou seja, é a velocidade que a Lua deve possuir para entrar em órbita naquela distância, e pra isso nós temos uma expressão:
Onde é a massa da Terra, dessa maneira a velocidade angular será:
E passando o denominador pra dentro da raiz, obtemos:
E jogando tudo isso na expressão inicial do período, obtemos:
Passo 3
Então se a gente, substituir os valores a expressão do período, vamos obter:
Ou em dias:
Então a variação do período, de uma expressão para outra é:
Ou seja: