11.2E Mostre que qualquer partícula interagindo gravitacionalmente com uma certa distribuição de massas tem aceleração igual à aceleração da gravidade gerada por aquelas massas.

Passo 1

Show de bola pessoal, como queremos saber informações sobre a aceleração da gravidade, podemos a usar a fórmula que expressa justamente essa grandeza, dada por:

g r = F r m

Onde m é a massa que está distribuída incialmente, e F r é a força da gravidade em função da distância r dada pela expressão:

F r = G M m r 2

E como temos várias massas m 1 ,   m 2 ,   m 3 ,   … ,   m n com n ∈ R , a força resultante sobre nossa partícula vai ser o somatório de todas essas forças:

F R = G M m 1 r 2 + G M m 2 r 2 + G M m 3 r 2 + ⋯ + G M m n r 2

F R = ∑ i = 1 n G M m i r 2

Mas no final das contas, vemos que a única coisa que está variando nesse somatório, são as massas, de forma que podemos retirar o restante de dentro do somatório, tal que:

F R = G M r 2 ∑ i = 1 n m i

Onde ∑ i = 1 n m i é igual a massa total m da distribuição. Logo:

F R = G M m r 2

Portanto:

g r = G M m r 2 m

g r = G M r 2

Passo 2

Iradoso, mas se agora por exemplo, toda aquela distribuição de massas estivesse concentrada em apenas um ponto, de forma que a força gravitacional seja dada diretamente pela massa total m , logo:

F R = G M m r 2

Então a aceleração será:

g r = G M m r 2 m

g r = G M r 2

Ou seja, independente das massas estarem concentradas em um ponto, ou distribuídas de maneira radial com distância r 0 , a aceleração gravitacional será a mesma.

Resposta

Demonstração

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