Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios e Problemas - Ex. 2
11.2E Mostre que qualquer partícula interagindo gravitacionalmente com uma certa distribuição de massas tem aceleração igual à aceleração da gravidade gerada por aquelas massas.
Passo 1
Show de bola pessoal, como queremos saber informações sobre a aceleração da gravidade, podemos a usar a fórmula que expressa justamente essa grandeza, dada por:
Onde é a massa que está distribuída incialmente, e é a força da gravidade em função da distância dada pela expressão:
E como temos várias massas com , a força resultante sobre nossa partícula vai ser o somatório de todas essas forças:
Mas no final das contas, vemos que a única coisa que está variando nesse somatório, são as massas, de forma que podemos retirar o restante de dentro do somatório, tal que:
Onde é igual a massa total da distribuição. Logo:
Portanto:
Passo 2
Iradoso, mas se agora por exemplo, toda aquela distribuição de massas estivesse concentrada em apenas um ponto, de forma que a força gravitacional seja dada diretamente pela massa total , logo:
Então a aceleração será:
Ou seja, independente das massas estarem concentradas em um ponto, ou distribuídas de maneira radial com distância , a aceleração gravitacional será a mesma.
Resposta
Demonstração