117. a ) Para uma lente com distância focal f , determine a menor distância possível entre um objeto e sua imagem real. b ) Faça um gráfico da distância entre o objeto e sua imagem real em função da distância entre o objeto e a lente. Seu gráfico concorda com o resultado obtido no item ( a ) ?

Passo 1

Então galera vamos lá!

A distância entre o objeto e sua imagem pode ser dada pela soma da distância do objeto até a lente e a distância da imagem até a lente, assim:

D = s + s '

Agora usando a seguinte equação:

1 s + 1 s ' = 1 f

Vamos isolar s ' , assim temos que:

s ' = s f s - f

Então temos que:

D = s + s f s - f

⇒ D = s 2 s - f

Agora vamos usar nossos conhecimentos de cálculo, vamos derivar essa expressão com respeito a s e igular a zero para ver que valor de s faz com que isso seja verdadeiro, pois assim teremos o valor de s que minimiza essa expressão, depois é substitui-lo e encontrar D m í n .

O gráfico que temos que fazer em ( b ) é justamente dessa expressão acima, só que como não temos um valor para a constante f e o valor de D que vamos encontra em ( a ) vai depender dessa constante, vamos dividir todos os membros da expressão por f , assim:

D f = s 2 / f 2 s / f - 1

Então vamos fazer um gráfico D / f × s / f .

Passo 2

Vamos lá então galera, vamos encontrar o menor valor de D , temos o seguinte:

D = s 2 s - f

Fazendo d D / d s , ficamos com:

d D d s = 2 s s - f - s 2 s - f 2

= s 2 - 2 s f s - f 2

Agora vamos igualar isso a zero encontrar s , temos:

s 2 - 2 s f s - f 2 = 0

⇒ s 2 - 2 s f = 0

⇒ s 2 = 2 s f

Temos que:

s = 2 f

Substituindo na nossa expressão para d , temos:

D = ( 2 f ) 2 2 f - f

= 4 f 2 f

Então temos que o menor valor de D é:

D = 4 f

Passo 3

Agora vamos fazer o gráfico, temos:

Se você reparar quando temos s / f = 2 temos que D / f = 4 mostrando que o gráfico concorda com nosso resultado.

Resposta

( a )

D = 4 f

( b )

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