12.11. Uma partícula de massa 3m está localizada a 1,0 m de outra partícula de massa m, a) Onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M em virtude das duas massas seja exatamente zero? b) O equilíbrio de M é estável ou instável (i) em pontos ao longo da linha que conecta m e 3m, e (ii) em pontos ao longo da linha que passa por M e é perpendicular à linha que conecta m e 3m?

Bem, a gente pode perceber que a terceira massa tem que estar entre as duas outras massas, porque a soma vetorial tem que ser 0, logo, as forças tem que estar em sentidos opostos, se ela não estiver entre as duas massas as forças gravitacionais vão se somar.

Sabendo disso, a gente pode dizer que a força gravitacional gerada pela interação com a massa de tem que ser igual a força gerada pela interação da massa de , logo

Olha só o tanto de coisa que a gente pode cortar, e

Se a gente inverter

Ou ainda

Logo

Isso quer dizer que a distância da massa de tem que ser maior que a distância de . Como a distância máxima que podemos ter é de então a gente pode fazer o seguinte

Mas

Logo

Então

Logo

E por tanto

Agora a gente tem que resolver o item (b), então precisamos discutir um pouco sobre o que é equilíbrio. Equilíbrio estável é quando um objeto volta a sua posição de equilíbrio após ser afastado dela. Agora em um equilíbrio instável, quando o objeto é afastado da sua posição de equilíbrio, ele vai se afastando cada vez mais.

No caso (i) a massa é movida na linha que ligam as duas massas dos cantos, e nesse caso o equilíbrio é instável, porque se afastarmos a massa M para um dos lados, ela tende a continuar se movendo no sentido que a gente afastou. No caso (ii) a gente move a massa M numa direção perpendicular a linha que ligam as duas massas dos cantos, e nesse caso o equilíbrio é estável, pois se empurrarmos a massa M para cima, ela tende a se mover para baixo, e se empurrarmos ela para baixo, ela tende a se mover para cima.