Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 41
Um medidor supercondutor de gravidade pode medir variações da ordem de . (a) Você escondido atrás de uma árvore, segurando o medidor, e seu amigo de se aproxima do outro lado. Quão próximo de você seu amigo pode chegar antes que o medidor detecte uma variação em causada pela presença dele? (b) Você está em um balão de ar quente, usando o medidor para determinar a que taxa está subindo (suponha a aceleração constante). Qual é a menor variação de altitude que resulta em uma variação detectável do campo gravitacional da Terra?
Passo 1
a) Vamos entender o que está acontecendo. Temos um detector que consegue medir variações na gravidade. Só que não é qualquer variação. São variações de ordem de .
Quando o seu amigo se a aproxima de você, existe um campo gravitacional pela presença de dois corpos próximos.
O campo gravitacional devido a uma massa gerado a uma distância em relação a , será:
Então seu amigo que tem ao se aproximar de você vai causar uma campo gravitacional. O que ele quer saber é a partir de qual distância esse campo se torna grande o bastante para ser detectado pelo condutor.
Passo 2
Usando a relação do enunciado, temos:
Logo,
Se a presença do seu amigo causa uma variação do campo gravitacional de
Igualando as expressões, temos:
Para , sabendo que é a constante de gravitação iniversal e vale e que
Isolando
Passo 3
Para o item (b), ele quer a menor variação de altitude que resulta em uma variação detectável do campo gravitacional da Terra. O campo gravitacional causado pela Terra a uma altura é
Para achar a variação de campo gravitacional da Terra por causa de uma variação de altura , vamos derivar essa expressão em relação a , assim achamos a taxa de variação do campo. Derivando, temos:
Usando que
Passo 4
Lembra que estamos querendo variações de ordem de grandeza bem pequenas, porque o condutor consegue sentir variações de ordem no campo (variações bem pequenas).
Aí a gente pode aproximar essa variação bem pequena do campo gravitacional na nossa expressão por , e aproximar por .
Logo,
Isolando o que a gente quer, a variação de altura :
Tiramos o módulo porque não faz diferença o sinal já que só queremos mesmo uma distância.
Do enunciado sabemos que e como queremos saber a variação em relação ao campo gravitacional da Terra, vamos usar , onde é o raio da Terra e vale
Temos então
Obs: percebe que no item (a) a gente queria um valor limite para a distância, de modo que uma variação no campo originada pela presença do menino seria detectável, e aqui no item (b) a gente queria a variação de distância que geraria uma variação percepctivel do campo.
Por isso usamos métodos diferentes para resolver cada item, beleza?