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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 15

15. Responda os itens a seguir:

(a) Compare a energia cinética de um carro em movimento com sua energia em repouso.

(b) Compare a energia total de um carro em movimento com sua energia em repouso.

(c) Estime o erro realizado ao se computar a energia cinética de um carro em movimento, usando expressões não relativísticas em comparação com as corretas expressões relativísticas. Dica: o uso da expansão binomial pode ajudar.

Passo 1

(a) O melhor jeito de comparar energias é expressando suas proporções, uma em relação a outra. Vamos fazer a suposição de que a velocidade de um carro em movimento seja de 30   m / s . O que temos que fazer então, é simplesmente dividir a energia cinética dele pela energia de massa ( m c 2   ) , para encontrar nossa objetivo:

Chamando de K a energia cinética, a relação que queremos é dada por:

K m c 2   = 1 2 m v 2 m c 2   = 1 2 v 2 c 2    

Obtemos uma fórmula em função da velocidade do carro v e da velocidade da luz c . Agora, basta substituir os valores numéricos para achar nossa proporção:

K m c 2   = 1 2 ( 30   m / s ) 2 ( 2,998 ∙ 10 8   m / s ) 2    

K m c 2   = 5 ∙ 10 - 15 = 5 ∙ 10 - 13 %

Passo 2

(b) Assim como na letra (a), vamos fazer uma proporção entre a energia total do carro em movimento e sua energia em repouso. Porém é preciso tomar cuidado! A energia total de um carro em movimento é a soma da energia equivalente de massa e da energia cinética. Consideremos a velocidade do carro, como igual à da letra (a).

A proporção que queremos, então, é dada pela divisão de sua energia total ( E t o t a l ) pela sua energia de massa ( m c 2   ) :

E t o t a l m c 2   = 1 2 m v 2 + m c 2   m c 2   = 1 2 v 2 c 2 + 1

E t o t a l m c 2   = 1 2 ( 30   m / s ) 2 ( 2,998 ∙ 10 8   m / s ) 2 + 1

E t o t a l m c 2   = 5 ∙ 10 - 15 + 1

E t o t a l m c 2   = 1,000000000000005

Passo 3

(c) O erro cometido ao calcular a energia cinética de um carro em movimento usando a expressão não relativística ( K n , r e l ) comparado com a relativística ( K r e l )   é dado por:

∆ K K r e l = K n , r e l - K r e l K r e l = K n , r e l K r e l - 1

E qual é mesmo a fórmula da energia relativística. Bom! A energia relativística K r e l , tem a seguinte cara:

K r e l = 1 1 - v 2 c 2 - 1 m c 2 = 1 - v 2 c 2 - 1 2 - 1 m c 2

Lembra lá da expansão binomial? É bom lembrar, porque vamos ter usar pra simplificar 1 - v 2 / c 2 - 1 / 2 em expressões mais práticas pro nosso cálculo. Se não lembra é bom saber, que se existem dois números quaisquer a e b , ao elevarmos a soma desses dois números a outro número qualquer n , a expressão pode ser escrita como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

Essa é a expansão binomial! Agora lembrou, né? Vamos então aplicar essa ferramenta à nossa expressãozinha:

1 - v 2 c 2 - 1 2 ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4 + ⋯ ≈ 1 + 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4

A gente parou por aí, porque conforme vamos achando os outros binômios, eles vão ficando mais próximos de zero, de forma que podem ser ignorados. O que importa é que agora, podemos substituir a expansão binomial na fórmula da energia relativística e chegamos a:

K r e l = 1 + 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4 - 1 m c 2

K r e l = 1 2 v 2 c 2 + 3 8 v 4 c 4 m c 2

K r e l = 1 2 m v 2 + 3 8 m v 2 v 2 c 2

K r e l = m v 2 2 1 + 3 4 v 2 c 2

Mas qual é mesmo a fórmula da energia não relativística? Bem, se você fazer um pequeno esforço, vai lembrar que a fórmula da energia não relativística ( K n , r e l ) , é dada pelo simples produto de m v 2 / 2 . Assim, reescrevemos K r e l como:

K r e l = K n , r e l 1 + 3 4 v 2 c 2

Voltemos assim, até a expressão do erro cometido para substituir o novo valor de K r e l :

∆ K K r e l = K n , r e l K r e l - 1

∆ K K r e l = K n , r e l K n , r e l 1 + 3 4 v 2 c 2 - 1

∆ K K r e l = 1 + 3 4 v 2 c 2 - 1 - 1  

Ai! Ai! De novo iremos ter que fazer expansão binomial para descomplicar a expressão acima no nosso cálculo. Mas desta vez, sem demora! Vamos logo para as contas:

1 + 3 4 v 2 c 2 - 1 = 1 + - 1 3 4 v 2 c 2 + - 1 - 2 2 3 4 v 2 c 2 2 + ⋯ ≈ 1 - 3 4 v 2 c 2

Simplificamos a expressão acima usando a expansão binomial e pegamos os dois primeiros termos, já que os próximos aproximam-se cada vez mais de zero. Vamos então substituir o resultado acima na fórmula que queremos:

∆ K K r e l = 1 + 3 4 v 2 c 2 - 1 - 1

∆ K K r e l = 1 - 3 4 v 2 c 2 - 1

∆ K K r e l = - 3 4 v 2 c 2

∆ K K r e l = 3 4 v 2 c 2

Aleluia! Falta agora, apenas substituir os valores numéricos:

∆ K K r e l = 3 4 ( 30   m / s ) 2 ( 2,998 ∙ 10 8   m / s ) 2

∆ K K r e l = 7,5 ∙ 10 - 15

Enfim, encontramos o resultado!

Resposta

a) A energia cinética é 5 ∙ 10 - 15 vezes menor do que a energia equivalente de massa do carro em repouso.

b) A energia total do carro é 1,000000000000005 vezes maior do que a energia do carro em repouso.

c) O erro cometido é de 7,5 ∙ 10 - 15 ou 7,5 ∙ 10 - 13   % .

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