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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 15.Exercícios e Problemas - Ex. 4

15.4E Calcule a força F sobre a esfera azul vista na Figura 15.13, supondo que as esferas têm diâmetro muito menor do que L .

Passo 1

Belezoca de motoca galerinha, nossa esfera azul possui outras 3 esferas que afetam a força elétrica resultante sobre ela.

Podemos ver que para cargas opostas, a força elétrica F → 1 e F → 2 é atrativa, enquanto para cargas iguais a força F → 3 é repulsiva. Então se a gente montasse um diagrama de forças somente para a esfera azul, teremos:

E na maciota, através do princípio da superposição das forças, teremos que a força resultante F → R vai ser dada por:

F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3

Passo 2

Show de bolinhas, então bora lá encontrar cada uma dessas forças. Para calcular a força entre duas partículas, usamos a Lei de Coulomb dada por:

F E = k q 1 q 2 r 2

Onde q 1 e q 2 são as cargas das partículas em questão, r é a distância entre as cargas e k é nossa constante eletrostática. Dessa forma, para F → 1 , temos a interação entre as cargas + q e - q por uma distância dada por r = L , logo:

F → 1 = k + q - q L 2

F → 1 = k q 2 L 2

E como essa força F → 1 está no sentido negativo do eixo O y , isto é, de acordo com o vetor unitário - j ^ , podemos orientar essa força como:

F → 1 = k q 2 L 2 - j ^

F → 1 = - k q 2 L 2 j ^

Agora para a força F → 2 a interação também se dá entre as cargas + q e - q por uma distância L , tal que:

F → 2 = k q 2 L 2

A diferença aqui é que F → 2 está no sentido positivo do eixo O x , orientado pelo vetor unitário î , logo:

F → 2 = k q 2 L 2 î

Passo 3

Já para a força F → 3 , teremos uma interação repulsiva entre cargas - q e - q , e além disso a distância entre elas será dada pela diagonal do nosso quadrado:

d = L 2 + L 2

d = 2 L

Tal que o módulo da nossa força F → 3 é dada por:

F → 3 = k - q - q 2 L 2

F → 3 = k q ² 2 L 2

Mas além disso, a gente tem que orientar essa força exatamente na direção da reta que liga as duas cargas. E se a gente decompor essa linha de acordo com o ângulo θ :

Teremos que a força decomposta é:

F → 3 = k q 2 2 L 2 - cos ⁡ θ î + sen ⁡ θ j ^

E como se trata de um quadrado perfeito, esse ângulo da diagonal divide 90 ° exatamente no meio, tal que θ = 45 ° :

F → 3 = k q 2 2 L 2 - cos ⁡ 45 î + sen ⁡ 45 j ^

F → 3 = k q 2 2 L 2 - 2 2 î + 2 2 j ^

F → 3 = k 2 q 2 4 L 2 - î + j ^

Passo 4

Portanto, pelo princípio da superposição das forças temos:

F → R = F → 1 + F → 2 + F → 3

F → R = - k q 2 L 2 j ^ + k q 2 L 2 î + k 2 q 2 4 L 2 - î + j ^

Reorganizando os termos:

F → R = - 4 k q 2 4 L 2 j ^ + 4 k q 2 4 L 2 î + k 2 q 2 4 L 2 - î + j ^

F → R = k 4 q 2 4 L 2 - k 2 q 2 4 L 2 î + k 2 q 2 4 L 2 - k 4 q 2 4 L 2 j ^

F → R = k 4 q 2 - 2 q 2 4 L 2 î + k 2 q 2 - 4 q 2 4 L 2 j ^

F → R = k q 2 L 2   4 - 2 4 î + k q 2 L 2   2 - 4 4 j ^

Portanto, trocando o sinal de j ^ , temos que:

F → R = 4 - 2 4 k q 2 L 2   î - j ^

Resposta

F → R = 4 - 2 4 k q 2 L 2   î - j ^

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