Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 36
36 . Um bloco de massa em cima de uma mesa horizontal sem atrito é empurrado contra uma mola horizontal, comprimindo-a de uma distância , e então o bloco é liberado. A mola impulsiona o bloco sobre a mesa, imprimindo-lhe uma rapidez . A mesma mola é então usada para impulsionar um segundo bloco de massa de , imprimindo-lhe uma rapidez . De que distância a mola foi comprimida no segundo caso? Dê sua resposta em termos de .
Passo 1
A primeira coisa a ser feita, é entender como está ocorrendo a distribuição de energias no nosso sistema. Por isso, vamos lá! Temos no nosso sistema que, inicialmente, a compressão da mola irá realizar um trabalho, que por sua vez será armazenado na forma energia potencial. Só que essa essa energia potencial, quando o bloco é liberado, terá que ser convertida em outra forma de energia. Como o bloco irá se desprender da mola movimentando-se sobre a mesa, consequentemente temos que a energia potencial armazenada lá no início, vai ser transformada na energia cinética do bloco. Por fim, o que resta é igualar essas energias de modo que possa extrair-se a relação desejada entre as compressões da mola e as velocidades dos blocos e encontrar a resposta final.
Passo 2
Antes de iniciar os cálculos, atentemos a algumas definições de forma a facilitar o entendimento, uma vez que o problema expõe duas situações, onde dois blocos de massas e , são comprimidos pela mola. Por isso, deixamos o numeral se referir ao primeiro caso, e o numeral ao segundo caso. No final substituimos tudo por , como pede a questão.Vamos aos cálculos!
Primeiro caso:
Iguala-se a energia potencial armazenada na compressão da mola à energia cinética do bloco quando se desprende:
Segundo caso:
Novamente, iguala-se a energia potencial armazenada na compressão da mola à energia cinética do bloco quando se desprende:
Só que, de acordo com o enunciado e . Logo, susbstituem-se os valores correspondentes na equação do segundo caso, de modo que ela passa a ter a seguinte cara:
Passo 3
Das equações obtidas tanto para o primeiro caso, vemos que o termo é comum as duas situações. Resta então, tentar tirar dessa coincidência um possível modo de obter a resposta desejada. Vamos à tentativa:
Da equação em , temos que .
E da equação em , obtemos que:
Opa! Mas no primeiro caso conseguimos encontrar que . Agora sim encontramos a nossa relação! Basta agora substituí-la na equação do segundo caso:
Pronto! Relação entre e encontrada. Logo a deformação da mola é vezes maior no segundo caso. Lembrando que na verdade é a deformação lá do começo da questão!
Resposta
A mola foi comprimida a uma distância no segundo caso.