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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Exercício - Ex. 40

40- ( a ) Derive duas vezes em relação ao tempo a carga q dada pela Equação ( 30.28 ) e mostre que aquela expressão é realmente a solução da Equação ( 30.27 ) .

( b ) No instante t = 0 , a chave na Figura 30.17 é colocada na posição que liga o ponto d ao ponto a ; nesse instante, q = Q e i = d q d t = 0 . Mostre que as constantes ϕ e A na Equação ( 30.28 ) são dadas por

tan ⁡ ϕ = - R 2 L 1 L C - R 2 4 L 2   e   A = Q cos ⁡ ϕ

Passo 1

A equação 30.28 nos diz que a carga q em um circuito R L C tem uma fórmula igual a:

q = A e - R 2 L t cos ⁡ ω t + ϕ

Suprimindo o fato que ω = 1 L C - R 2 4 L 2

Derivando uma vez em relação ao tempo nós teremos:

d q d t = - A R 2 L e - R 2 L t cos ⁡ ω t + ϕ - A e - R 2 L t ω s e n ω t + ϕ

d q d t = - A e - R 2 L t R 2 L cos ⁡ ω t + ϕ + ω s e n ω t + ϕ

Derivando a segunda vez teremos:

d 2 q d t = A R 2 L e - R 2 L t R 2 L cos ⁡ ω t + ϕ + ω s e n ω t + ϕ - A e - R 2 L t - ω R 2 L s e n ω t + ϕ + ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ

d 2 q d t = A e - R 2 L t R 2 4 L 2 - ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ + 2 ω R 2 L s e n ω t + ϕ

Passo 2

Substituindo na equação 30.27 teremos:

d 2 q d t 2 + R L d q d t + q L C = 0

Isso vai ser grande hahah

A e - R 2 L t R 2 4 L 2 - ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ + 2 ω R 2 L s e n ω t + ϕ

+ R L × - A e - R 2 L t R 2 L cos ⁡ ω t + ϕ + ω s e n ω t + ϕ

+ 1 L C A e - R 2 L t cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Tirando o fator A e - R 2 L t de todas as equações teremos:

R 2 4 L 2 - ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ + 2 ω R 2 L s e n ω t + ϕ - R L R 2 L cos ⁡ ω t + ϕ + ω s e n ω t + ϕ

+ 1 L C × cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Juntando os termos com cosseno e com seno teremos:

R 2 4 L 2 - R 2 2 L 2 - ω 2 + 1 L C cos ⁡ ω t + ϕ = 0

1 L C - R 2 4 L 2 - ω 2 cos ⁡ ω t + ϕ = 0

Como ω = 1 L C - R 2 4 L 2 então a equação é válida.

Passo 3

Como em t = 0 e q = Q   e d q d t = 0 então pela equação 30.28 fica:

q 0 = Q = A cos ⁡ ϕ

Então a amplitude A fica:

A = Q cos ⁡ ϕ

Agora fazendo d q d t = 0 pela fórmula de d q / d t que encontramos no passo 1 e aplicando t = 0 nela nós teremos:

d q d t = - A e - R 2 L t R 2 L cos ⁡ ω t + ϕ + ω s e n ω t + ϕ

d q d t 0 = - A R 2 L cos ⁡ ϕ + ω s e n   ϕ = 0

- Q cos ⁡ ϕ   R 2 L cos ⁡ ϕ + ω s e n   ϕ = 0

- Q R 2 L - Q ω tan ⁡ ϕ = 0

- Q R 2 L = Q ω tan ⁡ ϕ

tan ⁡ ϕ = - R 2 L   ω = - R 2 L 1 L C - R 2 4 L 2

E é o que queremos demonstrar!

Resposta

a )   P a s s o s   1   e   2

b )   P a s s o   2

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