Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 23.Exercícios - Ex. 41
Uma esfera metálica com raio está apoiada sobre uma base isolada no centro de uma casca esférica metálica com raio externo . Existe uma carga na esfera interna e uma
carga na esfera externa. Determine o potencial para as regiões . (Dica: o potencial total é dado pela soma dos potenciais de cada esfera.) Considere igual a zero para infinito. Mostre que o potencial da esfera
interna em relação à esfera externa é dado por
Use a Equação e o resultado do item para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas possui módulo dado por
Aplique a Equação e o resultado do item para calcular o campo elétrico em um ponto fora da esfera maior a uma distância do centro, sendo . Suponha que a carga na esfera externa não seja , mas uma carga negativa de módulo diferente, digamos, . Mostre que as respostas dos itens e não se alteram, porém a resposta do item torna-se diferente.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão!
Vamos analisar e resolver cada item separadamente nos próximos passos para a gente não ficar confuso e se perder. Vamos lá!
Passo 2
Começando com o item .
O potencial é dado por:
Então temos que usar essa equação para analisar cada região que o item pede.
Para .
Nessa região estamos dentro das duas esferas, logo temos que:
Para .
Nessa região estamos dentro da esfera externa mas fora da esfera interna, logo:
Para .
Nessa região estamos fora das duas esferas, assim temos que:
Passo 3
Agora vamos para o item .
O potencial na esfera interna é dado por:
Já que estamos em uma região dentro das duas esferas. Agora o potencial na esfera externa é:
Pois estamos em uma região fora das duas esferas, então temos que:
Passo 4
Vamos para o item .
A equação é a seguinte:
Ele quer que usemos essa equação para mostrar que o campo elétrico em qualquer ponto entre as esferas é dado pela equação lá do enunciado.
O potencial de um ponto entre as esferas é dado por:
Então temos que derivar isso em relação , então:
Então:
Do item , temos que:
Então temos que:
Chegamos na equação do enunciado!
Passo 5
Agora o item .
A equação é a seguinte:
Ele quer que usemos essa equação para encontrar o campo em um ponto com .
O potencial de um ponto com é:
Logo temos que:
Passo 6
Finalmente o item , o último!
Se a casca externa tiver uma carga diferente os potenciais dentro da camada externa só irão sofrer um pequeno deslocamento de
Logo os resultados de e se mantem os mesmos. Mas por conta dessa diferença de carga o potencial fora das esferas é dado por:
Logo a deriva de com relação a não vai ser mais zero, logo o campo nessa região vai ser diferente de zero, mudando o resultado do item .
Resposta
Para .
Para .
Para .
Demonstrado acima!
Demonstrado acima.