2 5 . Uma casca esférica fina de raio R 1 = 3,00   c m é concêntrica com uma casca esférica fina maior de raio R 2 = 5,00   c m . Ambas as cascas são feitas de um material isolante. A casca menor possui carga q 1 = + 6,00   n C , distribuída uniformemente sobre sua superfície, e a casca maior possui carga q 2 = - 9,00   n C distribuída uniformemente sobre sua superfície. Considere o potencial elétrico igual a zero a uma distância infinita de ambas as cascas. ( a ) Qual é o potencial elétrico produzido pelas duas cascas nos pontos separados pelas seguintes distâncias de seu centro comum:   i r = 0 ; i i r = 4,00   c m ; i i i r =   6,00   c m ? ( b ) Qual é o módulo da diferença de potencial entre as superfícies das duas cascas? Qual casca possui o maior potencial: a interna ou a externa?

Passo 1

Pra começar a resolver o exercício temos que ter em mente que o potencial em qualquer ponto é a soma escalar do potencial devido a cada camada.

No item ( a ) pede o potencial elétrico produzidos pelas duas cascas para diferentes valores de r , então para deixar meio caminho andando vamos adiantar o seguinte:

Se r ≤ R (raio das esferas), então:

V = k q R

Se r > R , então:

V = k q r

Combinado? Então vamos lá!

Passo 2

a ) Vamos achar o potencial elétrico como foi dito no passo anterior:

i   r = 0 – Este ponto está dentro de ambas as cascas.

V = k q 1 R 1 + q 2 R 2 = ( 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² ) 6,0 ⋅ 10 - 9   C 0,03   m + - 9,0 ⋅ 10 - 9   C 0,05   m = 180   V

i i   r = 4   c m – Este ponto está fora da casca 1 e dentro da casca 2.

V = k q 1 r + q 2 R 2 = 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² 6,0 ⋅ 10 - 9   C 0,0 4   m + - 9,0 ⋅ 10 - 9   C 0,05   m = - 270   V

i i i   r = 6   c m   – Este ponto está fora de ambas as cascas.

V = k q 1 r + q 2 r = 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² 6,0 ⋅ 10 - 9   C 0,0 6   m + - 9,0 ⋅ 10 - 9   C 0,0 6   m = - 45 0   V

Passo 3

b ) Vamos começar calculando V 1 .

O raio da casca 1 é 0,03   m e esse ponto está dentro da casca 2, então:

V 1 = k q 1 R 1 + q 2 R 2 = 180   V

Agora vamos calcular V 2 .

O raio da casca 2 é 0,0 5   m e esse ponto está fora da casca 1, então:

V 2 = k q 1 r + q 2 R 2 = 8,99 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C ² 6,0 ⋅ 10 - 9   C 0,0 5   m + - 9,0 ⋅ 10 - 9   C 0,05   m =   - 539   V

Fazendo a diferença de potencial:

V 2 - V 1 = - 539   V - 180   V = 719   V

A casca interna tem maior potencial

Resposta

a )

i   V = 180   V

i i   V = - 270   V

i i i   V = - 450   V

b )

V 2 - V 1 = 719   V

A casca interna tem maior potencial

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