Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 48
48. Um cabo coaxial. Um pequeno condutor maciço com raio é suportado por dois discos isolantes não-magnéticos no eixo de um tubo com paredes finas com raio interno igual a . O condutor interno e o condutor externo conduzem corrente de mesmo módulo , porém com sentidos contrários. Aplique a lei de Ampère para determinar o campo magnético em qualquer ponto do volume entre os condutores. Escreva uma expressão para o fluxo magnético através de uma faixa estreita de comprimento paralela ao eixo, com espessura , situada a uma distância do centro do cabo e sobre o plano que contém o eixo. Integre a expressão encontrada no item sobre o volume entre os dois condutores, para calcular o fluxo magnético produzido pela corrente que passa no condutor central. Mostre que a indutância de um comprimento do cabo é dada por
Use a Equação para calcular a energia magnética armazenada no campo magnético para um comprimento no cabo.
Passo 1
Vamos discutir cada item separadamente para a gente não se embolar que essa questão é bem grandinha. Vamos lá!
Para o item precisamos da lei de Ampère, que é dada por:
Mas o campo magnético entre os condutos é constante, já que esse campo provém apenas da corrente que passa no condutor interno, então ele pode sair dessa integral, assim só temos que achar quem é
Agora para o item temos que lembrar que o fluxo magnético pode ser escrito da seguinte forma:
O é o campo que vamos encontrar no item anterior e é o elemento de área que segundo o enunciado tem comprimento e espessura , assim:
Para o item basta integrar o que achamos no item anterior, assim:
Você deve estar se perguntado por que de até , é assim pois o enunciado quer o fluxo no volume entre os condutores que, então é a parti do interno de raio até o externo de raio interno .
Para mostrar o que é pedido no item , temos que lembrar que, segundo a equação do livro, a indutância pode ser escrita como:
Então vamos substituir o que encontrarmos em nessa expressão.
E para o item basta pegar a expressão dada por:
E substituir o que achamos em .
Se você reparar um item está ligado ao outro, então temos que cuidado para não errar se não vamos carregar esse erro até o final
Passo 2
Vamos encontrar o que é pedido no item então, temos:
Sendo constante ele pode pular para fora da integral, assim:
A integral em é em tordo de uma circunferência pelo fato de o condutor apresentar um raio e como essa integral é em torno do condutor, temos:
E lembrando que , ficamos com:
Passo 3
Agora que temos o campo podemos achar a expressão para , temos:
Lembrando que , temos:
Passo 4
Agora vamos integrar o resultado passo anterior para chegar no que o item pede, assim:
Podemos jogar para fora da integral o termo:
Já que ele é constante, assim:
Então temos que:
Passo 5
Agora vamos encontrar a expressão para indutância do item , temos:
Substituindo , temos:
Onde nesse caso podemos aproximar (o caso de uma única espira), assim:
Passo 6
E finalmente o último item, vamos achar a energia pedida em , temos:
Substituindo o que encontramos e lembrando que , ficamos com: