Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 54
54. Continuação do Exercício . Qual é a energia total armazenada inicialmente no indutor? Para , qual é a taxa da diminuição da energia no indutor? Para , com que taxa a energia elétrica está sendo convertida em energia térmica no resistor? Obtenha uma expressão para a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica no resistor em função do tempo. Integre essa expressão desde até para obter a energia elétrica total dissipada no resistor. Compare seu resultado à resposta do item .
Passo 1
Vamos então as informações principais para resolver esse problema, tendo elas o resto é só ficar integrando expressões.
O enunciado diz que temos uma continuação do exercício , assim temos as seguintes informações:
Temos também que e o circuito é do tipo , com:
A equação mencionada nos fornece a energia armazenada em indutor e é dada por:
Para achar a taxa de diminuição da energia no indutor, basta derivar a fórmula que temos acima em função do tempo e substituir o valor de que o enunciado quer, assim:
Para achar a taxa de conversão de energia elétrica em térmica no resistor, temos que lembrar que:
E que:
A expressão que o item , é na verdade a energia no resistor, que pode ser encontrada integrando a expressão acima no intervalo de tempo que o enunciado quer, assim:
Passo 2
Vamos usar a equação para achar a energia armazenada no indutor inicialmente, que quer dizer , assim temos:
Substituindo , temos:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Passo 3
Agora vamos achar a taxa da diminuição da energia no indutor com a fórmula que achamos no passo , temos:
Sabemos que:
E que
Juntando tudo temos que:
Substituindo os valores que temos ficamos com:
Então temos que:
Passo 4
Para achar a taxa de conversão de energia elétrica em térmica no resistor, vamos usar a seguinte relação:
Substituindo pela expressão que nós temos do passo , ficamos com:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Passo 5
Vamos agora por último encontrar expressão pedida no item , para isso vamos usar o seguinte:
Sabendo que:
Substituindo pela expressão que nós temos do passo , ficamos com:
Então nossa integral fica assim:
Assim, ficamos com:
Então temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então, temos que:
É o mesmo resultado do item , isso mostra que toda a energia que foi armazenada no indutor é dissipada no resistor depois de um tempo.
Resposta
É o mesmo resultado do item , isso mostra que toda a energia que foi armazenada no indutor é dissipada no resistor depois de um tempo.