Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 35.Problemas - Ex. 49
49. Na Figura , suponha que as fontes e estejam localizadas nos pontos e , respectivamente. Rescreva a Equação em termos das coordenadas e em um ponto da Figura no qual ocorre interferência construtiva. A expressão que você obteve no item é a equação das curvas antinodais mostradas na Figura . Mostre que essas curvas são hipérboles. (Sugestão: talvez seja conveniente fazer uma revisão da definição de hipérbole na geometria analítica.) Repita o item para a Equação , que fornece a condição para que ocorra interferência destrutiva, e mostre que as curvas nodais (não mostradas na Figura ) também são hipérboles.
Passo 1
Então galera, vamos para mais uma?
Temos o seguinte, para o item , temos que reescrever a seguinte fórmula em termos de e .
Para isso temos que escrever as distancias e em termos de e , podemos calcular essas distancias entre as fontes e o ponto como utilizando a expressão que fornece distância entre os pontos, assim:
Então é só juntar essas informações e conseguimos o que o item pede.
Mostrar que a equação é uma hipérbole temos que ver se ela se parece com a seguinte equação que define uma hipérbole.
Para o item vamos usar as mesmas expressões de e que mostrei antes, mas agora na equação , dada por:
Passo 2
Vamos então galera para o item , temos o seguinte:
O enunciado fala que a posição das fontes é dada por:
Logo a coordenada para ambas é zero.
Então temos que:
Então nossa equação fica da seguinte forma:
Prontinho, era só isso que o item queria.
Passo 3
Agora vamos mostrar que essa equação é a equação de uma hipérbole.
Temos o seguinte, e são constantes, então podemos dividir os dois lados por , assim:
Onde podemos fazer o seguinte:
Se você reparar temos algo mais ou menos parecido com a equação da hipérbole mostrada no passo . Podemos considerar então que essas curvas são hipérboles.
Passo 4
Vamos então galera para o item , temos o seguinte:
O enunciado fala que a posição das fontes é dada por:
Logo a coordenada para ambas é zero.
Então temos que:
Então nossa equação fica da seguinte forma:
Prontinho, era só isso que o item queria.
Agora vamos mostrar que essa equação é a equação de uma hipérbole.
Temos o seguinte, e são constantes, então podemos dividir os dois lados por , assim:
Onde podemos fazer o seguinte:
Se você reparar temos algo mais ou menos parecido com a equação da hipérbole mostrada no passo . Podemos considerar então que essas curvas são hipérboles.