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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas - Ex. 52

52. a ) Mostre por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão que a função de onda ψ 1 x = A 1 x e - α 2 x 2 / 2 , onde α 2 = m ω / ℏ , é uma solução com energia correspondente ao nível n = 1 na Equação ( 40.22 ) . b ) Encontre a constante de normalização A 1 . c ) Mostre que a densidade de probabilidade apresenta um máximo em x = ± 1 / α , correspondentes aos pontos clássicos de inversão para o estado fundamental.

Passo 1

Nesse primeiro item o que temos que fazer é substituir a função de onda do estado fundamental do oscilador na equação 40.22 , dada por:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ d x 2 + 1 2 k ' x 2 ψ = E ψ

Aí é só ir brincando com a expressão e ver e provar que a igualdade é verdadeira.

Para encontrar a constante de normalização temos que normalizar nossa função de onda, temos que achar A 1 , para que:

∫ - ∞ ∞ ψ 1 x 2 = 1

Com isso conseguimos encontrar nosso A 1 .

A densidade de probabilidade é dada por ψ 1 x 2 , sabendo disso podemos usar nossos conhecimentos de cálculo para ver se x = ± 1 / α é ponto de máximo e x = 0 é ponto de mínimo.

Para isso vamos derivar ψ 0 x 2 uma vez e ver se ela zera com x = ± 1 / α e x = 0 se isso acontecer vamos derivar mais uma vez e ver se em x = ± 1 / α a expressão que chegamos é menor que zero e ver se em x = 0 a expressão é maior que zero.

Passo 2

Bem vamos então substituir ψ 1 ( x ) na equação 40.22 e brincar com ela, mas antes vamos calcular as derivadas que aparecem na equação separadamente para não embolar.

Vamos lá, temos:

ψ 1 x = A 1 x e - α 2 x 2 / 2

⇒ d ψ 1 d x = - α 2 x 2 A 1 e - α 2 x 2 / 2 + A 1 e - α 2 x 2 / 2

⇒ d 2 ψ 1 d x 2 = - α 2 A 1 2 x e - α 2 x 2 / 2 + α 2 2 x 3 A 1 e - α 2 x 2 / 2 - A 1 α 2 x e - α 2 x 2 / 2  

= [ - 2 α 2 + α 2 2 x 2 - α 2 ] A 1 x e - α 2 x 2 / 2

Mas sabemos que ψ 1 x = A 1 x e - α 2 x 2 / 2 , então:

d 2 ψ 1 d x 2 = [ - 2 α 2 + α 2 2 x 2 - α 2 ] ψ 1 x

Jogando isso na nossa equação ficamos com:

- ℏ 2 2 m d 2 ψ 1 d x 2 + 1 2 k ' x 2 ψ 1 = E ψ 1

- ℏ 2 2 m [ - 2 α 2 + α 2 2 x 2 - α 2 ] ψ 1 + 1 2 k ' x 2 ψ 1 = E ψ 1

Podemos dividir tudo por ψ 1 ( x ) , assim:

- ℏ 2 2 m [ - 2 α 2 + α 2 2 x 2 - α 2 ] + 1 2 k ' x 2 = E

Passo 3

Antes de prosseguirmos na equação vamos nos ligar em alguns detalhes para simplificarmos melhor nossa equação.

A constante k ' é a constante elástica, que pode ser escrita como:

ω = k ' m

⇒ k ' = ω 2 m

E temos que α 2 = m ω / ℏ e temos que a energia do oscilador no modo fundamental é dada por E = 3 ℏ ω / 2 .

Colocando isso na nossa equação ficamos com:

- ℏ 2 2 m - 2 m ω ℏ + m 2 ω 2 ℏ 2 x 2 - m ω ℏ + 1 2 ( ω 2 m ) x 2 = 3 ℏ ω 2

⇒ ℏ ω - m ω 2 2 x 2 + ℏ ω 2 + m ω 2 2 x = 3 ℏ ω 2

Assim encontramos que:

3 ℏ ω 2 = 3 ℏ ω 2

Com isso provamos que ψ 1 ( x ) é solução da equação.

Passo 4

Agora vamos encontrar a constante de normalização A 1 , para isso vamos fazer o seguinte:

∫ - ∞ ∞ ψ 1 x 2 = 1

Primeiro vamos calcular ψ 1 x 2 , temos:

  ψ 0 x 2 = ψ 1 x ⋅ ψ 1 x

= A 1 x e - α 2 x 2 / 2 ⋅ A 1 x e - α 2 x 2 / 2

⇒ ψ 0 x 2 = A 1 2 x 2 e - α 2 x 2

Então ficamos com:

∫ - ∞ ∞ A 1 2 x 2 e - α 2 x 2   d x = 1

⇒ A 1 2 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - α 2 x 2   d x = 1

A integral que ficamos é uma gaussiana que tem o resultado bem definido, assim:

∫ - ∞ ∞ x 2 e - α 2 x 2   d x = π 2 α 2 3 / 2

Então temos que:

A 1 2 π 2 α 2 3 / 2 = 1

⇒ A 1 2 = 2 α 2 3 2 π

Sabendo que

α 2 = m ω ℏ

α 2 3 2 = m ω ℏ 3 / 2

A 1 2 = 2 m ω ℏ 3 / 2 π

⇒ A 1 = 2 π m ω ℏ 3 4

Passo 5

Agora vamos verificar se x = 0 , vamos fazer o que comentei no passo 1 , temos:

ψ 1 x 2 = A 1 2 x 2 e - α 2 x 2

⇒ d ψ 1 x 2 d x = A 1 2 - 2 α 2 x x 2 e - α 2 x 2 + A 1 2 2 x e - α 2 x 2

Se substituirmos x = 0 , temos:

d ψ 1 x 2 d x = A 1 2 - 2 α 2 0 0 2 e - α 2 x 2 + A 1 2 2 0 e - α 2 x 2

= 0 + 0

= 0

Agora vamos derivar essa expressão mais uma vez e verificar se ele é negativo, temos:

d 2 ψ 0 x 2 d x 2 = 2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 x 4 e - α 2 x 2

Fazendo x = 0 , temos:

2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 x 4 e - α 2 x 2

= 2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 0 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 0 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 0 4 e - α 2 x 2

= 2 A 1 2 e - α 2 x 2 + 0 + 0 + 0

= 2 A 1 2 e - α 2 x 2 > 0

Logo temos que x = 0 é ponto de mínimo.

Passo 6

Agora vamos verificar se x = ± 1 / α , vamos fazer o que nem o passo anterior, temos:

ψ 1 x 2 = A 1 2 x 2 e - α 2 x 2

⇒ d ψ 1 x 2 d x = A 1 2 - 2 α 2 x x 2 e - α 2 x 2 + A 1 2 2 x e - α 2 x 2

Se substituirmos x = ± 1 / α , temos:

d ψ 1 x 2 d x = A 1 2 - 2 α 2 ± 1 α ± 1 α 2 e - α 2 x 2 + A 1 2 2 ± 1 α e - α 2 x 2

= ∓ 2 A 1 2 1 α e - α 2 x 2 ± 2 A 1 2 1 α e - α 2 x 2

= 0

Agora vamos derivar essa expressão mais uma vez e verificar se ele é negativo, temos:

d 2 ψ 0 x 2 d x 2 = 2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 x 4 e - α 2 x 2

Fazendo x = ± 1 / α , temos:

2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 x 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 x 4 e - α 2 x 2

= 2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 α 2 ± 1 α 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 α 2 ± 1 α 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 α 2 2 ± 1 α 4 e - α 2 x 2

= 2 A 1 2 e - α 2 x 2 - 4 A 1 2 e - α 2 x 2 - 6 A 1 2 e - α 2 x 2 + 4 A 1 2 e - α 2 x 2

= - 4 A 1 2 e - α 2 x 2 < 0

Logo temos que x = ± 1 / α é ponto de máximo.

Resposta

( a )

ψ 1 ( x ) é solução da equação.

( b )

A 1 = 2 π m ω ℏ 3 4

( c )

x = 0 é ponto de mínimo.

x = ± 1 / α é ponto de máximo.

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