Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas Desafiadores - Ex. 58
58. A aproximação WKB (Problema Desafiador ) pode ser usada para determinar os níveis de energia de um oscilador harmônico. Nessa aproximação os níveis de energia são as soluções da equação
onde é a energia, é a função energia potencial e e são os dois pontos clássicos de inversão (os pontos em que é igual à energia potencial, de modo que a energia cinética newtoniana é igual a zero). Determine os pontos clássicos de inversão para um oscilador harmônico com energia e constante da mola . Faça a integral da aproximação WKB e mostre que os níveis de energia nessa aproximação são dados por , onde e (Sugestão: lembre que . Uma integral útil é dada por
onde é a notação geralmente usada para a função inversa do seno. Note que a integral é par, de modo que a integral de até é igual ao dobro da integral de até .) Como os níveis de energia aproximados encontrados no item se comparam com os níveis de energia verdadeiros indicados na Equação ? A aproximação WKB fornece uma estimativa maior ou menor para os valores reais dos níveis de energia?
Passo 1
Bem, nesse problema teremos que nos lembrar que em um oscilador harmônico nos pontos de inversão temos que a energia total é igual a energia potencial nesse ponto, assim:
Então basta isolarmos e encontramos o que o item quer.
Para o item temos que resolver a integral mostrada no enunciado para uma energia potencial elástica utilizando os pontos que encontramos em como limites de integração.
E para o item temos que apenas comparar o resultado de com a equação .
Passo 2
Vamos lá então, vamos começar com item ,temos o seguinte:
Agora isolando temos:
Passo 3
Agora vamos calcular a integral pedida em , temos o seguinte:
Fazendo , e sabendo que , ficamos com:
Antes de continuar com a integração vamos dá uma mexida em nosso integrando para que ele se pareça com a integral útil sugerida pelo enunciado.
Temos o seguinte:
Então nossa integral fica da seguinte forma:
Agora ficamos com algo parecido com a integral sugerida no enunciado e lembrando que a integral é par, assim:
Assim temos que:
Jogando o para dentro da raiz ficamos com:
Lembrando que e isolando ficamos com:
Simplificando mais um pouco temos:
Passo 4
Agora vamos com o item .
A equação é a seguinte:
Comparando isso com o que encontramos, vemos que a expressão de não contém o nível , mas fora isso os resultados se diferem por , então temos uma boa aproximação.
Resposta
A expressão encontrada em não contém o nível , mas fora isso temos uma boa aproximação.