54. Um oscilador harmônico anisotrópico em três dimensões. A função energia potencial de um oscilador harmônico é dada por , onde . Esse oscilador é chamado de anisotrópico porque a constante da mola não é a mesma em todas as três direções das coordenadas. Determine a expressão geral dos níveis de energia desse oscilador (veja o Problema ). Com base em seu resultado encontrado no item calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador. Quantos estados (conjuntos diferentes de números quânticos e ) existem para o nível fundamental e para o primeiro nível excitado? Compare o resultado com o item do Problema .

Vamos então começar a mexer na equação que falei no passo , temos que:

Sabemos que e , então:

Cada derivada parcial fica dá seguinte forma:

Agora a expressão com a energia potencial fica da seguinte maneira:

Assim nossa equação lá de cima pode ser escrita da seguinte maneira:

Cada termo entre parênteses é a expressão do oscilador para uma direção, então segundo o problema e a equação , temos que:

Isso é verdadeiro já que a energia total é a soma da energia de cada direção.

Do item passo anterior encontramos que:

Só que segundo o enunciado, temos:

Então ficamos com:

o item que saber a energia do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Então:

Para o estado fundamento temos , assim:

Se você repara só tem essa combinação possível de números quânticos para gerar esse estado, com isso já respondemos uma parte do item .

Agora para o primeiro estado excitado temos uma combinação possível que é , então temos somente um estado para o mesmo nível de energia, acabei de te mostrar a resposta da segunda parte do item .

Então para a combinação de , temos: