53. Um oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Um oscilador harmônico isotrópico possui uma função energia potencial dada por . (Isotrópico significa que a constante da mola é a mesma em todas as três direções das coordenadas.) Mostre que, para este potencial, a solução da Equação é dada por . Nessa expressão, é uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão para o oscilador harmônico, Equação , com energia . As funções e são análogas às funções de onda em uma dimensão para as direções e . Calcule a energia associada a essa função . Com base em seu resultado no item calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Mostre que existe somente um estado (um conjunto de números quânticos e ) para o nível fundamental, porém, existem três estados para o primeiro nível excitado.

Vamos então começar a mexer na equação que falei no passo , temos que:

Sabemos que e , então:

Cada derivada parcial fica dá seguinte forma:

Agora a expressão com a energia potencial fica da seguinte maneira:

Assim nossa equação lá de cima pode ser escrita da seguinte maneira:

Cada termo entre parênteses é a expressão do oscilador para uma direção, então segundo o enunciado e a equação , temos que:

Isso é verdadeiro já que a energia total é a soma da energia de cada direção.

Do item encontramos que:

Só que segundo o enunciado, temos:

Então substituindo isso no que encontramos do item , ficamos com:

Mas o item que saber a energia do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Então:

Para o estado fundamento temos , assim:

Se você repara só tem essa combinação possível de números quânticos para gerar esse estado, com isso já respondemos uma parte do item .

Agora para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis que são ou ou , então temos três estados diferentes para o mesmo nível de energia, acabei de te mostrar a resposta da segunda parte do item .

Então para cada combinação de , temos: