53. Um oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Um oscilador harmônico isotrópico possui uma função energia potencial dada por U x ,y ,z = 1 2 k ' ( x 2 + y 2 + z 2 ) . (Isotrópico significa que a constante da mola k ' é a mesma em todas as três direções das coordenadas.) a ) Mostre que, para este potencial, a solução da Equação ( 40.29 ) é dada por ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) . Nessa expressão, ψ n x ( x ) é uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão para o oscilador harmônico, Equação ( 40.22 ) , com energia E n x = n x + 1 2 ℏ ω . As funções ψ n y ( y ) e ψ n z ( z ) são análogas às funções de onda em uma dimensão para as direções y e z . Calcule a energia associada a essa função ψ . b ) Com base em seu resultado no item ( a ) calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. c ) Mostre que existe somente um estado (um conjunto de números quânticos n x ,n y e n z ) para o nível fundamental, porém, existem três estados para o primeiro nível excitado.

( a ) ψ = ψ n x ( x ) ψ n y ( y ) ψ n z ( z ) é solução da equação de Schrödinger para a situação descrita no enunciado. ( b ) E 000 = 3 2 ℏ ω E 100 = E 010 = E 001 = 5 2 ℏ ω ( c ) Para o estado fundamental só temos uma combinação possível, já para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis.

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 40.Problemas - Ex. 53

53. Um oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Um oscilador harmônico isotrópico possui uma função energia potencial dada por . (Isotrópico significa que a constante da mola é a mesma em todas as três direções das coordenadas.) Mostre que, para este potencial, a solução da Equação é dada por . Nessa expressão, é uma solução da equação de Schrödinger em uma dimensão para o oscilador harmônico, Equação , com energia . As funções e são análogas às funções de onda em uma dimensão para as direções e . Calcule a energia associada a essa função . Com base em seu resultado no item calcule a energia do nível fundamental e as energias do primeiro nível excitado do oscilador harmônico isotrópico em três dimensões. Mostre que existe somente um estado (um conjunto de números quânticos e ) para o nível fundamental, porém, existem três estados para o primeiro nível excitado.

Passo 1

Vamos começar então galera!

Para o primeiro item desse problema, vamos ter que mexer com a equação , dada por:

Vamos substituir e até encontrar coisas parecidas com a equação do oscilador harmônico unidimensional

Depois que encontrarmos uma fórmula para energia a parti do item , vamos fazer a substituições necessárias.

Passo 2

Vamos então começar a mexer na equação que falei no passo , temos que:

Sabemos que e , então:

Cada derivada parcial fica dá seguinte forma:

Agora a expressão com a energia potencial fica da seguinte maneira:

Assim nossa equação lá de cima pode ser escrita da seguinte maneira:

Cada termo entre parênteses é a expressão do oscilador para uma direção, então segundo o enunciado e a equação , temos que:

Isso é verdadeiro já que a energia total é a soma da energia de cada direção.

Passo 3

Do item encontramos que:

Só que segundo o enunciado, temos:

Então substituindo isso no que encontramos do item , ficamos com:

Mas o item que saber a energia do estado fundamental e do primeiro estado excitado. Então:

Para o estado fundamento temos , assim:

Se você repara só tem essa combinação possível de números quânticos para gerar esse estado, com isso já respondemos uma parte do item .

Agora para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis que são ou ou , então temos três estados diferentes para o mesmo nível de energia, acabei de te mostrar a resposta da segunda parte do item .

Então para cada combinação de , temos:

Resposta

é solução da equação de Schrödinger para a situação descrita no enunciado.

Para o estado fundamental só temos uma combinação possível, já para o primeiro estado excitado temos três combinações possíveis.

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Exercício de Livro

Na função de onda Ψ ( x ) do nível fundamental do oscilador harmônico dada pela equação Ψ ( x ) = C e - m k x 2 / 2 h 2 π , Ψ 2 atinge seu valor máximo em x = 0 . a)Calcule a razão entre Ψ 2 para x =

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51. a ) Mostre por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão que a função de onda ψ 0 x = A 0 e - α 2 x 2 / 2 , onde α 2 = m ω / ℏ , é uma solução com en