Enunciado
Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 53
53. Considere um sistema de elétrons livres no interior de um volume . Mesmo no zero absoluto, tal sistema exerce uma pressão sobre suas vizinhanças por causa do movimento dos elétrons. Para calcular essa pressão, imagine que o volume cresça de uma pequena quantidade . O trabalho realizado pelo elétron sobre suas vizinhanças é igual a , o que significa que a energia total dos elétrons deverá variar de uma quantidade . Logo, . Mostre que a pressão do elétron no zero absoluto é
Calcule essa pressão para o cobre, que possui uma concentração de elétrons livres igual a . Expresse seu resultado em pascals e em atmosferas. A pressão que você encontrou no item é extremamente elevada. Por que então os elétrons em uma placa de cobre simplesmente não explodem e saem do metal?
Passo 1
Temos o seguinte, para achar expressão da pressão pedida em , basta realizarmos a derivada , mas quem é para derivarmos?
Vamos lá, a energia média de um elétron livre é dada por:
Mas como temos elétrons temos que nossa energia total é:
Onde temos que é a energia de Fermi, assim:
Agora para o item basta pegarmos a expressão que encontramos para pressão e calcular a pressão sabendo que .
Lembrando que a massa do elétron é .
O item pede para expressarmos o resultado em Pascals e em , o resultado que vamos obter já vem em Pascals, vai faltar expressá-lo em , vamos fazer isso através da seguinte relação:
Passo 2
Vamos então encontrar a expressão para , temos que:
Agora vamos fazer .
Então temos que:
Logo temos que:
Passo 3
Agora para o item vamos calcular sabendo que , assim:
Então temos que:
Passando para , temos:
Realmente, como o enunciado falou, temos uma pressão bem grande, mas os elétrons continuam presos pela força atrativa exercida sobre eles pelos íons de cobre.
Resposta
Os elétrons continuam presos pela força atrativa exercida sobre eles pelos íons de cobre.