Enunciado

53. Considere um sistema de N elétrons livres no interior de um volume V . Mesmo no zero absoluto, tal sistema exerce uma pressão sobre suas vizinhanças por causa do movimento dos elétrons. Para calcular essa pressão, imagine que o volume cresça de uma pequena quantidade d V . O trabalho realizado pelo elétron sobre suas vizinhanças é igual a p d V , o que significa que a energia total dos elétrons E t o t deverá variar de uma quantidade d E t o t = - p d V . Logo, p   = - d E t o t / d V . a ) Mostre que a pressão do elétron no zero absoluto é

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

b ) Calcule essa pressão para o cobre, que possui uma concentração de elétrons livres igual a 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 . Expresse seu resultado em pascals e em atmosferas. c ) A pressão que você encontrou no item ( b ) é extremamente elevada. Por que então os elétrons em uma placa de cobre simplesmente não explodem e saem do metal?

Passo 1

Temos o seguinte, para achar expressão da pressão pedida em ( a ) , basta realizarmos a derivada - d E t o t / d V , mas quem é E t o t para derivarmos?

Vamos lá, a energia média de um elétron livre é dada por:

E m é d = 3 5 E F 0

Mas como temos N elétrons temos que nossa energia total é:

E t o t = N 3 5 E F 0

Onde temos que E F 0 é a energia de Fermi, assim:

E F 0 = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 2 m N V 2 / 3

Agora para o item ( b ) basta pegarmos a expressão que encontramos para pressão e calcular a pressão sabendo que N / V = 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 .

Lembrando que a massa do elétron é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g .

O item ( b ) pede para expressarmos o resultado em Pascals e em a t m , o resultado que vamos obter já vem em Pascals, vai faltar expressá-lo em a t m , vamos fazer isso através da seguinte relação:

1   a t m = 1,013 ⋅ 10 5   P a

Passo 2

Vamos então encontrar a expressão para p , temos que:

E t o t = N 3 5 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 2 m N V 2 / 3

= 3 5 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 10 m 1 V 2 / 3

Agora vamos fazer d E t o t / d V .

d E t o t d V = d d V 3 5 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 10 m 1 V 2 / 3

= 3 5 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 10 m d d V 1 V 2 / 3

Então temos que:

d E t o t d V = 3 5 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 N 5 / 3 10 m - 2 3 V - 5 / 3

= - 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

Logo temos que:

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

Passo 3

Agora para o item ( b ) vamos calcular p sabendo que N / V = 8 , 45 ⋅ 10 28   m - 3 , assim:

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2 5 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) 8 , 45 ⋅ 10 28 5 / 3

= 10,63 ⋅ 10 - 68 45,55 ⋅ 10 - 31 ( 1627,15 ⋅ 10 45 )

Então temos que:

p = 3,8 ⋅ 10 10   P a

Passando para a t m , temos:

p = 3,75 ⋅ 10 5   a t m

Realmente, como o enunciado falou, temos uma pressão bem grande, mas os elétrons continuam presos pela força atrativa exercida sobre eles pelos íons de cobre.

Resposta

( a )

p = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 5 m N V 5 / 3

( b )

p = 3,8 ⋅ 10 10   P a = 3,75 ⋅ 10 5   a t m

( c )

Os elétrons continuam presos pela força atrativa exercida sobre eles pelos íons de cobre.

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