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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Exercícios - Ex. 29

A largura da banda proibida entre a banda de valência e a banda de condução do germânio é 0,67 e V . A dopagem com o arsênio fornece níveis de doadores no interior dessa banda a 0,01 e V abaixo da parte inferior da banda de condução. Para uma temperatura de 300 K , existe uma probabilidade de 4,4 × 10 - 4 de que um elétron ocupe um estado na parte inferior da banda de condução. Nesse caso, onde se encontra o nível de energia de Fermi em relação à banda de condução?

Passo 1

O problema nos diz que f E = 4,4 × 10 - 4 para T = 300 K e na energia E abaixo da banda de condução. Queremos determinar quanto E F está abaixo dessa energia, certo?

Então vamos começar pela probabilidade de Fermi:

f E = 1 exp ⁡ E - E F k B T - 1

E primeiro isolar o argumento da exponencial (lembra que queremos E e E F ):

exp ⁡ E - E F k B T - 1 f E = 1

exp ⁡ E - E F k B T f E - f E = 1

exp ⁡ E - E F k B T f E = 1 + f ( E )

exp ⁡ E - E F k B T = 1 + f E f ( E )

exp ⁡ E - E F k B T = 1 f E - 1 = 1 4,4 × 10 - 4 - 1 = 2,272 × 10 3

Passo 2

Beleza? Agora que sabemos o valor da exponencial, podemos aplicar o logaritmo natural dos dois lados para tirar aquele E - E F do argumento:

exp ⁡ E - E F k B T = 2,272 × 10 3

ln ⁡ exp ⁡ E - E F k B T = ln ⁡ 2,272 × 10 3

E - E F k B T = ln ⁡ 2,272 × 10 3

Agora vamos substituir a temperatura e o valor da constante de Boltzmann:

E - E F = k B T ln ⁡ 2,272 × 10 3

E - E F = 1,38 × 10 - 23 . 300 . ln ⁡ 2,272 × 10 3 = 3,201 × 10 - 20 J

Passo 3

Sabemos que 1 e V equivale a 1,6 × 10 - 19 J , então é só dividir o valor encontrado para achar em e V :

E - E F = 3,201 × 10 - 20 1,6 × 10 - 19 = 0,2 e V

Logo a energia de Fermi E F é:

E F = E - 0,2 e V

E está a 0,2 e V abaixo da parte inferior da banda de condução.

Resposta

0,2eV abaixo

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